求方阵的幂的方法与技巧学士学位论文

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1、哈尔滨学院学士学位论文求方阵的幂的方法与技巧学院：理学院专业：数学与应用数学姓名：钟旭学号：11051223指导教师：李明哲职称：摘要本篇论文依据矩阵的一些性质，探讨了方阵的幂的求解问题。矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个概念，是线性代数中一个很重要的组成部分，矩阵及其理论广泛应用于现代科技的各个领域，同时常常涉及到方阵的幂的计算。一般来说求方阵的幂是一个麻烦的事，尤其是当方阵的阶数和方幂的次数较高时，计算十分麻烦。本文针对不同类型的方阵，总结了计算方阵高次幂的若干种方法，例如若尔当标准形方法、矩阵乘法的结合律、递推法、矩

2、阵分解法、数学归纳法、矩阵分块法等方法，并针对其应用进行举例。关键词：矩阵的幂；方阵；若尔当标准形AbstractInthispaper,basedonsomepropertiesofmatrix,andprobesintotheproblemsofsolvingthematrixexponential.Matrixisaconceptabstractedfrommanyproblems,anditisanveryimportantconstituentinlinearalgebra,Matrixanditstheoryis

3、nowwidelyusedineveryfieldofmodernscienceandtechnology,atthesametimeitalwaysinvolvescalculationmethodofthepowerofamatrix.Thuscausedthesolutionsquarematrixthehighermodepowerinisnotthedifficultproblem,sothisarticlesummarizedverymanykindstoaskthesquarematrixthepowermet

4、hod,includingtheJordannormalformmethod,thematrixmultiplicationassociativelaw,therecursionlaw,thematrixresolution,themathematicalinduction,thematrixpiecemeallaw,similardiagonalmethodandsoonessentialcommonlyusedmethod,andapplicationforpowerofsquarematrixforexample.Ke

5、ywords:thepowerofmatrix;squarematrix;jordanstandardform目录摘要IAbstractII前言3第一章预备知识41.1矩阵的相关概念及性质41.1.1矩阵的秩及性质41.1.2矩阵的乘法51.1.3矩阵的幂51.1.4若尔当标准形51.1.5对角化定义61.2本章小结6第二章方阵的幂的求解方法与技巧72.1利用矩阵对角化的方法求方阵的幂72.2利用若尔当标准形方法求方阵的幂82.3利用数学归纳法求方阵的幂102.3.1什么是数学归纳法102.4利用递推公式方法求方阵的幂122

6、.5利用二项式法求方阵的高次幂142.6秩为1的方阵的高次幂的求解152.7利用Hamiltoor-Caylry定理求方阵的幂172.8本章小结17结论19参考文献21致谢22前言矩阵，在数学上最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，它的运算是高等代数领域中的重要问题，其求法原理贯穿于代数教学的始终。“矩阵”这个词室友西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这是术语，从行列式的大量工作中明显看出，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都是可以研究和使用的，矩阵的许多基

7、本性质也是在行列式的发展中建立起来的。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是

8、不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。矩