课题：等比数列的前n项和

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1、课题：等比数列的前n项和通过本节课的教学，师生共同探究等比数列的前n项和公式。尤其是公式的推导是以“错位相减法”为基本方法；其设计思路是“消除差别”，从而达到简化求和过程的目的。当然，公式的推导也可以结合等比数列的定义及分式的性质加以推导，在教学过程中应给学生以充分的探索空间。一、教学重点(1)等比数列前n项和公式的推导(2)等比数列前n项和公式的应用二、教学难点等比数列前n项和公式的推导三、教学三维目标(Ⅰ)知识与技能：首先使学生了解现实生活中存在着大量的等比数列求和问题；其次让学生理解并掌握等比数列前n项和公式。第

2、三，引导学生用方程思想认识等比数列前n项和公式；利用公式知三求一；第四，注意公式推导过程中涉及的分类讨论和化归思想。(Ⅱ)过程与方法本节教学采用观察与思考、类比、归纳及探究等方法进行教学。尽可能发挥学生的主体作用，充分调动学生探索新知识的积极性。(Ⅲ)情感认知与价值观教学过程中，通过生活中的一些有趣实例，引导学生积极思考，激发学生对新知识的探究精神及认真的科学态度，培养学生的类比及化归的能力；让学生通过参与学会思考，学会解决问题的方法；通过对实际问题的解决，体现理论来源于实践并指导实践，以激发学生的学习热情；尽可能体现

3、新课标所强调的：要培养不仅能“学会知识”而且能“会学知识”的人才这一教学理念。四、教学过程(Ⅰ)复习上节所学有关等比数列定义及通项公式：(1)定义：符号语言的两种表达形式：(可让学生描述定义并给出符号表示)(2)通项公式：以a1为首项，q为公比的等比数列的通项公式：an=a1qn-1(n∈N*)注意：在回顾上述内容的过程中注意与等差数列比较；(Ⅱ)创设情境引入新课：师：“国际象棋起源于古代印度；……。”教材：P55师：假设每千粒麦子的质量为40克，按目前世界小麦年产量60亿吨计，你认为国王能否满足发明者的要求？生：学生

4、积极思考，动笔算，列式。生：探究发现：麦粒的总数为：1+2+22+…+263=？师：我们将各格所放的麦粒数看成一个数列，我们就得到了一个以1为首项，2为公比的等比数列；而总麦粒数也就是这个数列的前64项的和。师：提出问题。设数列{an}是以a1为首项，q为公比的等比数列。那么：如何求它的前n项和：Sn=a1+a2+a3+…+an呢？生：回忆等差数列前n项和公式推导方法，倒序相加法；它实质上是利用了等差数列性质，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，其中m、n、p、q均为正整数。采用对位相加的方法，化n项和为“几项

5、和”.师：类比等差数列求和公式的推导，是否也可将等比数列前n项和转化为“某几项的和”呢？生：观察：Sn=a1+a2+a3+…+an.师：上述等式的右式是n项的和；即含n个量：由等比数列定义可知：一方面：an=a1qn-1(n∈N*)，另一方面：an+1=anq(n∈N*)，从而Sn可写什么形式呢？生甲：Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1，并可看成关于Sn的方程；qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn(构造关于Sn的方程)两式相减得：(1－q)Sn=a1－a1qn；生乙：Sn=a1+a2+a

6、3+…+an(也可看成关于Sn的方程)qSn=a1q+a2q+…+an－1q+anq(构造关于Sn的方程)两式相减得：(1－q)Sn=a1－anq.师：提醒学生注意结合等式的性质及q的取值.生丙：当q≠1时，有：生丁：当q≠1时，有：师：这两位同学的结论是否相一致？生A：由an=a1qn－1知这两位同学的结论是相一致的.师：前者是等比数列的五个基本量：a1、q、n、an、Sn中的a1、q、n、Sn四个，后者出现的是：a1、an、q、Sn四个.师：分析上述公式的推导方法：错位相减法.(注意与对位相加法比较对“错位”加以说

7、明).师：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的，也就是当等比数列的公式q≠1时，方可用上述公式求等比数列n项和；那么：当q=1时，又有什么样的结果呢？生：独立思考，合作交流.生：如果q=1，则Sn=na1.师：完全正确，引导学生思考：如果q=1，Sn=nan正确吗？怎样解释？生：正确，此时：a1=a2=…=an.师：对了，这就认清了问题的本质.Ⅲ.合作探究：等比数列前n项和公式推导的其它方法：思路一：由Sn=a1+a2+a3+…+an得：Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an－

8、1)=a1+q(Sn－an)从而得：(1－q)Sn=a1－anq(以下略)思路二：由等比数列定义知：再由等比定理得：即：(下略)师：探究中发现：Sn－Sn-1=an是一个非常重要的关系；同学们应高度重视；思考：n的取值应满足什么条件？生：n>1且n∈N*.师：综合上面探究过程，我们得出公比为q的等比数列前n项和公式：Ⅲ.典例解析：