线性代数必备知识点公式_免费下载

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1、1、行列式2n1.n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：①、A和a的大小无关；ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；ij++ij3.代数余子式和余子式的关系：MAA=−(1)=−(1)Mijijijij4.设n行列式D：nn(1−)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D=−(1)2D；11nn(1−)将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D，则D=−(1)2D；22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D=

2、D；33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D=D；445.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；nn(1−)②、副对角行列式：副对角元素的乘积×−(1)2；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；nn(1−)④、◤和◢：副对角元素的乘积×−(1)2；AOACCAOAmn⑤、拉普拉斯展开式：==AB、==(1)−ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；nnkn−k6.对于n阶行列式A，恒有：λλEA−=+−∑(1)Skλ，其中Sk为k阶主子式；k=17.证明A=0的方法：①、AA=−；

3、②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；④、利用秩，证明rAn()<；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；⇔rAn()=（是满秩矩阵）⇔A的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组Ax=0有非零解；n⇔∀∈bR，Ax=b总有唯一解；⇔A与E等价；⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A的特征值全不为0；T⇔AA是正定矩阵；1n⇔A的行（列）向量组是R的一组基；n⇔A是R中某两组基的过渡矩阵；**2.对于n阶矩阵A：AAA==AAE无条件恒成立；−−1**1−−1TT1*TT*3.()()AA===

4、()(AA)()A()ATTT***−11−−1()AB==BA()ABBA()AB=BA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：⎛⎞A1⎜⎟A若A=⎜⎟2，则：⎜⎟O⎜⎟A⎝⎠sⅠ、AAAA=L；12s−1⎛⎞A1⎜⎟−1A−1⎜⎟2Ⅱ、A=；⎜⎟O⎜⎟⎜⎟−1A⎝⎠s−1−1⎛⎞AO⎛⎞AO②、⎜⎟=⎜⎟；（主对角分块）−1⎝⎠OB⎝OB⎠−1−1⎛⎞OA⎛⎞OB③、⎜⎟=⎜⎟；（副对角分块）−1⎝⎠BO⎝AO⎠⎛⎞AC−1⎛⎞AA−−11−CB−1④、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉

5、斯）−1⎝⎠OB⎝OB⎠−1−1⎛⎞AO⎛⎞AO⑤、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−−−111⎝⎠CB⎝−BCAB⎠3、矩阵的初等变换与线性方程组⎛⎞EOr1.一个mn×矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=⎜⎟；⎝⎠OOmn×等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若rArB()()=⇔AB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采

6、用初等行变换）r−1①、若(,)(,)AEEX，则A可逆，且X=A；c−1−1②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(,)(,AB∼EAB)；r−1③、求解线形方程组：对于个未知数个方程nnAx=b，如果(,)(,)AbEx，则A可逆，且xAb=；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；2⎛⎞λ1⎜⎟λ②、Λ=⎜⎟2，左乘矩阵A，λ乘A的各行元素；右乘，λ乘A的各列元素；ii⎜⎟O⎜⎟λ⎝⎠n−1⎛⎞11⎛⎞−1⎜⎟⎜⎟③、对调两行或两列，符号E

7、(,)ij，且E(,)ij=Ei(,)j，例如：11=；⎜⎟⎜⎟⎜⎟11⎜⎟⎝⎠⎝⎠−1⎛⎞1⎛⎞1⎜⎟−11⎜⎟⎜⎟1④、倍乘某行或某列，符号E(())ik，且Eik(())=Ei(())，例如：kk=≠(0)；k⎜⎟⎜⎟k⎜⎟1⎝⎠⎜⎟⎝⎠1−1⎛⎞11kk⎛⎞−−1⎜⎟⎜⎟⑤、倍加某行或某列，符号E(())ijk,且E(())ijk=−Eij(())k，如：11=≠(k0)；⎜⎟⎜⎟⎜⎟11⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.矩阵秩的基本性质：①、0(≤≤rA)min(,)mn；mn×T②、rA()()=rA；③、若AB，则rArB()()=；④、若P、Q可逆

8、，则rArPArAQrPAQ()()()(===)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())rArB≤≤rABr