7.6归纳-猜想-论证(2)

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1、7.6归纳-猜想-论证（2）习题课教学目标设计：知识与技能：进一步熟悉并掌握数学归纳法；掌握与命题及存在性问题相关问题进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．过程与方法：通过实例理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．情感态度价值观：再次体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．教学重点及难点：数学归纳法与命题及存在性问题相关问题的处理．教学过程：一、例题选讲例1、某个命题与自然数n有关，如果n=k（）时，该命题成立，

2、那么可推得当n=k+1时命题也成立，现在已知n=5时该命题不成立，那么：（C）A、n=6时该命题不成立B、n=6时命题成立C、n=4时该命题不成立D、n=4时该命题成立分析：若n=4时命题成立，则n=5时该命题也成立，而n=5时不成立，则无法确定n=6时该命题是否成立。此题实际是考察命题之间的关系：一个命题与它的逆否命题是等价的。例2、是否存在常数，，使等式，对任意正整数都成立？并证明你的结论。分析：设存在符合题意的a，b，取n=1，2，列出一个方程组解出a,b,然后证明对n都成立。例3、已知数列的前n项和为，是否存在常数a，b，c使得满足对一切都成立？并证明你的结论。

3、分析：设存在符合题意的a，b，c，取n=1，2，3列出一个方程组解出a,b,c然后证明对n都成立。解：设存在a,b,c符合条件，则令n=1，有a1=a+b+c=1①令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2得a2=3有a2=4a+2b+c=3②令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3得a3=6有a3=9a+3b+c=6③联立①②③解得a=,b=,c=0∴对n=1,2,3存在a,b,c使得an=n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推测n∈N时，存在a,b,c使得an=n(n+1)且满足a1=1,3Sn=(n+2)an成立。证明：①当n=1时

4、，由上述推测成立②假设n=k时，推测成立，即ak=k(k+1)且满足a1=1,3Sk=(k+2)ak，那么ak+1=Sk+1-Sk=［(k+1)+2］ak+1-(k+2)ak=(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)则6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1)所以ak+1=(k+1)(k+2)即n=k+1时，推测也成立由①②知n∈N时，推测都成立。说明：存在性问题的常规思路，先假设存在，再进行演绎推理若结果合理即肯定，反之否定，又因为此题涉及自然数，故实施时，先特殊探求，推测一般结论，用数学归纳法证明结论的真实性。例4、证明：说明：数学归纳法可以解决与正

5、整数有关的命题，包括证明恒等式、不等式等。分析：用数学归纳法证明。此类问题要注意从n=k到n=k+1时项数的变化。二、讲评练习卷：三、作业：国庆试卷2张四、小结：进一步熟悉并掌握数学归纳法；掌握与命题及存在性问题相关问题五、教后感:通过实例使学生加强理解了数学归纳法，同学掌握了应用数学归纳法证明与命题及存在性问题相关问题的解决。