用不动点法探究递推数列的通项公式

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2006年第5期中学数学研究用不动点法探究递推数列的通项公式北京师范大学良乡附属中学(102488)李春雷对问题：若数列{X}满足递推关系X+l=为公比的等比数列，所以z+／=4·3一，则(z)，求数列{X}的通项公式．我们可以尝试X=4·3L先求出方程X=f(z)的根，即函数f(z)的不．动点，再将递推公式z+1=f(z)转化为z+1定理2若数列{X}满足X+1=2+一口=a(x一口)、x+1一口=a(x一口)、x+1bxn+(口>0)，且a是函

2、数)=2一a、善q、+妇+I二斗a的最小不动点，则Xn+l一：口．一，．+!二一r!二、21X、Xz+一一+1一X—(x一口)．证明：由z：：+如+鱼三量(形式(其中为函数，得z：+_b-1z+++b-2)=f(X)的不动点，a，q，r为非零常数)．进而利用等差、等比数列的通项公式或迭代法求出{z0，所以有两个不动点一b，+，取最小不aaa一}、{}、{—}等形式的辅助数列的动点=一b，则6=一2口a．代入递推式化简通项公式，最后求出递推数列{z}的通项公式．可得X+1一口=a(x一口)定理1若

3、数列{X}满足X+1=+b评注：当取最小不动点=一时，有(a{0，1})，且a是函数f(X)=+b的不z+1一口口(z一a)，此时z+1+b口(z动点，贝4X+1一口=a(x一口)．证明：因为a是函数f(X)=+b的不+动点，所以口=口口+b，贝0b—d=一口口．例2巳知数列{X}满足X+l=2z+又因为x+1=+b，故X+1一口=4z+1，首项X1=1，求数列{X}的通项公式．+b一=一口，即x+1一口=a(x一)．解：令z=2z+4z+1，则2z+3z+1=评注：令x=+b，可求得f(X)：

4、+0，得(X+1)(2x+1)=0，则X=一1是函数b的不动点为a}上一a，此时z’+一一上一af(X)=2x+4x+1的最小不动点．因为X+1L，b、+1=2(z+1)，所以由迭代法，得X+1=2·z一。例1巳知数列{X}满足X+1=3x+7，(X一1+1)=212(X一2+1)]=2·2(X一2+1)2=2．22．EZ(z一3+1)2]2=⋯：2．22．2⋯首项X1=寺，求数列{X}的通项公式．2一．(j1+1)一==2+2+2+⋯+2。一(1+1)2。一解：令X=3x+7，则X=一I．因为

5、X+1=2一一1．2一=2一1，贝0z=2一1—1．+吾：3xn+7+7=3z+=3(xn+7)，所定理3若数列{X}满足X+1=3+以数列{z+7}是以Xl+=4为首项，以3如++一(口≠0)，且函数厂(z)·26·维普资讯http://www.cqvip.com中学数学研究2006年第5期=ax3+2++b3b定理4数列{z}满足z+1=ax．+b(一c，则必存在函数f(z)的一个不动点a，使得z+1一a=口(z一≠0，一．bc~O)，函数，(z)：耋，且首项口)3．z1≠f(z1)．、证明

6、：由z=船3++篓z+一(1)若f(z)有两个相异不动点Ol、卢，则b得ax3+bx2+(b2兰!!：二．：!!竺．—一j口，j口1)z+21。圭j口=0．z+1一卢口一z一卢’12(2)若f(x)只有一个不动点Ol，且口≠因为口≠0，所以z3+z2+(一)z+则63_0’X3+b3)+[2+aZn+1j一Ol=南口十口+Z一O1．27口3x6·证明：(1)若有两个相异不动点Ol，卢，2，—bb—一)z一1j=0)(x2-bz由z=，得2+(一口)z—b=0，3口2，故(一口，j口j口Clz十d

7、b2、变形得一船=b—dx，即b—dx=(一I十9—a—2J+口(z+j口)(z一0)_0’即(z+妾j口口)z，则b—da=(COl一口)口．2b·(z+z+)=0，则必存在一根为又因为z+1=ax．+b，则z+1一a=b取口=一bax．+b一ji=，，则6=一3口口．代入递推式，～即一a=．口j口化简得z+1一口=口(z一口)．同理可得z+一卢=．两评注：当取不动点a=一时，有z+一a=口Xn-G)，此时-+b=口(z+式相除滑主z篇+1一口一cg’z—p．(2)若只有一个不动点a，且口≠一

8、d．例3已知数列{z}满足z+1=2z一故z+-一a=一a=3z2+吾z+1，首项z=5，求数列{z}的通项公式．①解：令z=2X3-3z+3z+1，得2z3—由z=，得2+(一口)z—b=0，3x2+1Clz1_口z+号=0，则(z一)(2x-2z一)又a是唯一不动点，则=0，则z=丢是函数，(z)=2X3-3z2+3zf△=(d-a)2+4bc=06=一②1的+一个不动点．由定理3，知【a=c=③z+-一丢=2(z一1)3，所以由迭代法，得z将③代入②，得6=一_(d-a)2=a，1一=2(