圆锥曲线章节复习

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1、【本讲教育信息】一.教学内容:圆锥曲线章节复习 二.重点、难点:1.重点:   椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2.难点:直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用 三.知识结构: 【典型例题】[例1]已知,试讨论当的值变化时,方程表示曲线的形状。解:(1)当时,方程为,即,表示两条平行于轴的直线。(2)当时,,方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆。(3)当时,方程为,表示圆心在原点,半径为的圆。(4)当时,,方程表示焦点在轴上的椭圆。(5)当时,方程化为,表示两条平行于轴的直

2、线。(6)当时,,,方程表示焦点在轴上的双曲线。 [例2]已知双曲线的中心在原点,焦点、在坐标轴上,一条渐近线方程为,且过点(4,)。(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,)在此双曲线上,求;(3)求的面积。解:(1)由题意知,双曲线的方程是标准方程∵双曲线的一条渐近线方程为  ∴设双曲线方程为把点(4,)代入双曲线方程得,∴所求双曲线方程为(2)由(1)知双曲线方程为∴双曲线的焦点为、  ∵M点在双曲线上∴,∴            (3)∵   ∴   ∴为直角三角形∵∴ [例3]已知抛物线

3、的焦点为A,以B()为圆心,长为半径,在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N,P是MN的中点。(1)求的值;(2)是否存在这样的值,使、、成等差数列?解:如下图,A() ∵    ∴圆的方程为与联立得∴   解得   设   则,∴(2)设P(),则,∴   ∴∴若、成等差数列,则∴解得,这与矛盾故不存在,使成等差数列 [例4]已知双曲线与点P(1,2),过P点作直线与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点。(1)求直线AB的方程;(2)若Q(1,1),证明:不存在以Q为中点的弦。方法一:(1

4、)解:设过P(1,2)点的直线为,代入双曲线方程得由线段AB中点为P(1,2)  ∴解得,又时,使   从而直线AB方程为(2)证明:按同样方法求得,而使,所以直线CD不存在方法二:设A()、B(),①,②①-②得:∴写出直线方程,即,检验与双曲线有交点 [例5]已知双曲线(,)的左、右两个焦点分别为F1、F2,P是它左支上一点,P到左准线的距离为,双曲线的一条渐近线为,问是否存在点P,使、、成等比数列?若存在,求出P的坐标;若不存在,请说明理由。解:假设存在点P()满足题中条件∵双曲线的一条渐

5、近线为  ∴,∴, 即由,得①∵双曲线的两准线方程为  ∴   ∵点P在双曲线的左支上∴代入①得∴,代入,得②∴存在点P使成等比数列,点P的坐标是() [例6]如图,直线和相交于点M,,点N,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形,,=3,且,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。解:方法一:以为轴,MN的中点O为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知,曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的,并且点N是该抛物线的焦点,是准线。所以可令抛物线的方程为,过

6、点A作,,垂足分别为Q和E,由于是锐角三角形,则点E必在线段MN上。所以,  ∵    ∴  ∴∴抛物线方程为由上述可知,,点B到准线的距离为6,则点B的横坐标为4,又曲线段在轴上方,故曲线段C的方程为方法二:以为轴,为轴建立如下图的直角坐标系,其中M点为原点,这时焦点N在轴上,顶点应是线段MN的中点。令曲线段C所在的抛物线方程为:  设则:由(1)-(2)得  代入(1)得∴    ∵   ∴   ∵     ∴代入(3)得   ∴曲线段C的方程为 [例7]设分别为椭圆C:()的左、右两个焦点

7、。(1)若椭圆C上的点A(1,)到两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点。求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为时,那么与之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。解:(1)椭圆C的焦点在轴上  ∵椭圆上的点A到两点的距离和是4,得,即又∵点A()在椭圆上  ∴,得∴   ∴椭圆C的方程为,焦点为、(2

8、)设椭圆C上的动点为K(),线段F1K的中点Q()满足:  ∴因此  即为所求的轨迹方程(3)类似的性质为:若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P位置无关的定值。证明如下:设点M的坐标为(),则点N的坐标为(),其中。又设点P的坐标为(),由,=,得将,,代入得,命题得证。 [例8]直线:与双曲线C:的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数的取值范围;(2)是否存在实数,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的

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