中南大学随机过程第五章

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1、随机过程与排队论数学科学与计算技术学院胡朝明Email：math_hu2000@csu.edu.cn6/14/2021上一讲内容回顾独立增量过程正态过程维纳过程6/14/20212胡朝明本讲主要内容泊松过程泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的概率分布泊松过程的数字特征泊松过程的性质非齐次泊松过程复合泊松过程更新计数过程6/14/20213胡朝明3.泊松过程泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过程的理论和应用方面都起着重要的作用，特别在运筹学和排队论中的作用更为显著。泊松过程的实例很多，例如：在[0,t)时间内，到达某超级市场的顾客数N(t)；某电话交换台的呼唤数N(t)；某车间

2、发生故障的机器数N(t)；某计数器接受到的粒子数N(t)；某通信系统出现的误码数N(t)；等等，{N(t),t0}都是泊松过程的典型实例。6/14/20214胡朝明泊松过程的定义1如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足：N(0)＝0；具有独立增量；对任意0s

3、＝o(h)则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊松过程。6/14/20216胡朝明等价定理定理泊松过程的定义1与定义2是等价的。证明12：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3)直接得到。P{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝即d)。＝h[1-h+o(h)]＝h+o(h)即c)。6/14/20217胡朝明证明21：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：(1)k=0，p0(t+h)＝P{N(t+h)=0}＝P{N(t)=0,N(t

4、+h)-N(t)=0}＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}解得：p0(t)＝e-t。独立增量过程平稳性＝P{N(t)=0}P{N(h)=0}＝p0(t)[1-h+o(h)]因为6/14/20218胡朝明证明(续1)(2)k1pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}＝pk(t)[1-h+o(h)]+pk-1(t)[h+o(h)]+o(h)，6/14/20219胡朝明证明(续2)k=1时,解得：p1(t)＝te-t，所以k=1时结论成立。假设k-1时结论成立，解得结论成立。由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。得证再由平稳独立增量性质，对一切0s<

5、t,得出3)。■6/14/202110胡朝明泊松过程的概率分布和数字特征一维概率分布及均值和方差函数对任意t>0,N(t)～(t),P{N(t)=k}＝均值函数m(t)＝E[N(t)]＝t；方差函数D(t)＝D[N(t)]＝t。一维特征函数6/14/202111胡朝明泊松过程的概率分布和数字特征二维概率分布P{N(s)=j,N(t)=k}＝P{N(s)=j,N(t)-N(s)=k-j}t>s＝P{N(s)=j}P{N(t-s)=k-j}6/14/202112胡朝明泊松过程的概率分布和数字特征协方差函数和相关函数协方差函数C(s,t)＝min(s,t)，相关函数R(s,t)＝

6、min(s,t)＋2st。证明R(s,t)＝E[N(s)N(t)]＝E{N(s)[N(t)-N(s)+N(s)]}s

7、事件第1、2、…、n次出现的时间，称k为事件第k次出现的等待时间；Tk(k1)表示事件第k-1次出现到第k次出现的点间间距。Tk＝k-k-1，k＝T1+T2+…+Tk，k=1,2,…,n，0=06/14/202114胡朝明泊松过程的性质2设{N(t),t0}是参数为的泊松过程，{Tn,n=1,2,…}为点间间距序列，则Tn,n=1,2,…是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为的(负)指数分布。证明因为T1表示事件第1次出现以前所需要的