例谈数形结合思想在数学解题中的应用 济川中学 钟凤婷

《例谈数形结合思想在数学解题中的应用 济川中学 钟凤婷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例谈数形结合思想在数学解题中的应用东莞市济川中学钟凤婷【摘要】数形结合思想指的是通过“以形助数”或“以数解形”（借助数的精确性来阐明性的某种属性）的方式，把抽象的数学语言与直观的图形语言联系起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来分析，力求在代数与几何的交汇点处寻求解题思路，进而解决问题的一种数学思想.本文从举例的形式去探索数形结合的思想在解题中的应用.【关键词】数形结合数形结合是中学数学中重要的思想方法，也是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。常与以下内容有关：①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关

2、系；③以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，每年的高考试题（特别是客观题）能够用此思想方法解决的题目均占相当大的比例，在平常的教学中，要引起高度的

3、重视.1数形结合思想在“方程的根与函数的零点”中的应用近年来高考对“方程的根与函数的零点”内容的考查比较稳定，大都是需要我们结合图象，数形结合解决问题，因此我们有必要让学生发挥函数图象的作用，以形示数，数形结合，解决有关方程根的个数问题。例1（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（）分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。故选（C）例2方程的根的个数是（）A0B1C2D3分析：令101在同一坐标系中作出两个函数与的图象（如图）由图可知两曲线只有一个公共点，故方程只有一个解。2

4、数形结合思想在“不等式”中的应用近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。所以在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。例3（04年湖南高考题）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.分析：根据以上特点，不妨构造如图所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是例4分析：本题若用常规解法，要分两种情形：比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下：3数形结合思想在“线性规划”中的应用线性规划问题是在约

5、束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容.OABxy例5（2008年浙江,理17）若，且当时，恒有则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于__________。分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1.所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。101分析：不等式组表示的平面区域为，如图，由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点P（，b）所形成的平

6、面区域是一个正方形，所以面积为1.如图：例6已知满足不等式;试求f（－2）的取值范围。错解：由得：①;②①+②得：；∴③（－1）×②+①得：④由③、④得：分析：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：此题是不等式问题，将其用数形结合的方法转化为线性规划问题更为简单准确.正解：约束条件：目标函数：z＝4a－2b∴，即1.530X4a－2b＝04a－2b＝34a－2b＝12Y1.5错解4a－2b＝100Y1.51.53X4a－2b＝04a－2b＝5正解从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。4

7、数形结合思想在“点到直线的距离公式”中的应用101例7（02北京高考题）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可.即点到直线的距离，而5数形结合思想在“立体几何”中的应用构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等例8（04年广东高考题） 图1有面积关系则由图2有体积关系：__________. 解：分析：本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，

8、直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素