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《计算机视觉中的多视图几何第二章 3d射影几何和变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3D射影几何和变换点与直线直线的齐次表示：ax+by+c=0(a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量；上述两个矢量是等价的，因为只差一个全局缩放因子，却都表示相同的直线；这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量；在IR²中的矢量等价类的集合组成射影空间IP²，(0,0,0)’；2点的齐次表示表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’；ax+by+c=0;方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐标使IR²变成一个齐次矢量；充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是ax+by+
2、c=0；通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’x=(x1/x3,x2/x3)；3理想点与无穷远线两条平行线L1：ax+by+c=0L2：ax+by+c‘=0可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0）这是点的齐次表示，当我们用非其次点来表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两条线的交点在无穷远处4理想点与无穷远点IR²是包含了那些在坐标齐次表示下x3!=0的点，当我们把x3=0的点与IR²集合起来，形成IP²，我们称IP²为射影空间。X3=0的点叫理想点,或无穷远点，无穷远点的集合是
3、一条直线，即无穷远线。I=（0,0,1）表示无穷远线任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)，所以无穷远线可以看作是平面上所有直线方向的集合5点和射影变换2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c).3D射影几何中点X用齐次表示时需要一个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远点。6平面、直线和二次曲面的表示和变换直线公
4、式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c).平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量(π1,π2,π3,π4)’.齐次化,X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4.得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0或简记为π’X=0.表示点X在π上.7联合与关联关系(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定(2)两张不同的平面交于唯一的直线(3)三张不同的平面相较于一点8三点确定一张平面(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0x1’π1’x2’π=0π2’x=
5、0x3’π3’因为一般位置，所以它们线性无关(2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间9射影变换在点变换X’=HX下，平面变换为π‘=H’‘‘π平面上的点的参数表示在平面π上的点X可以写成X=Mx其中M是4*3矩阵，设平面
6、π=(a,b,c,d)’且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’10直线的表示两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数，故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量表示。(1)零空间与生成子空间表示11(2)Plucker矩阵将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’L有若干如下性质：1、L的秩为22、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由度，6-23、矩阵L与用
7、来确定它的点A,B无关,C=A+aB代替时,那么得到的矩阵是L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’=AB’-BA’=L12设A,B分别是原点和X-方向的理想点L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1)=4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩阵L*可由L通过简单的重写规则得到：l12:l13:l14:l23:l
8、42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12对偶的原则是1234的集合13Plucker直线坐标(1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34}l的行列式值为0，故有l12*l34+l13*l42+l14*l23=0(2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和连接A1，B1所产生的，这些直线相交的充要条件是四点共面，所以行列式值为零,即IA,B,A1,B1I=0.
