线性代数第五、六章 练习题

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1、第五、六章练习题一、选择题1.矩阵A=的非零特征值为（　　　）A．4B．3C．2D．12.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A）=（　　　）A．0B．1C．2D．33.设A为n阶正交矩阵，则行列式

2、A2

3、=（　　　）A．-2B．-1C．1D．24．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则

4、B-1

5、=（　　　）A．B．C．7D．125．设A为3阶矩阵，且已知

6、3A+2E

7、=0，则A必有一个特征值为（）A．B．C．D．6.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（　　）A.B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP

8、=BD.E-A=E-B7.与矩阵A=相似的是（　　）A.B.C.D.8．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（　　　）A．E-AB．-E-AC．2E-AD．-2E-A9．设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（　　　）A．B．C．2D．410.下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（　　　）A.=（1，1，1）B.=（-1，1，1）C.=（1，-1，1）D.=（0，1，1）11．已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则A2=（　　　）A．AB．DC．ED．-E12．设矩阵A=，则A的特征值为（　　　）A．1，1，0

9、B．-1，1，1C．1，1，1D．1，-1，-113．设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2=E，则必有（　　　）A．A的行列式等于1B．A的逆矩阵等于EC．A的秩等于nD．A的特征值均为114.下列矩阵为正交矩阵的是()A.B.C.D.15.设，，为矩阵A=的三个特征值，则=（）A.20B.24C.28D.3016.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（）A.B.1C.D.217.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为（）A.1B.2C.3D.418.设矩阵A=，则A的线性无关的特征向量的个数是（　　　）A．1B．2C．3D．419．二次型f（x1，x2）=的规

10、范形是（　　　）A．B．C．D．20.设A=，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（　　　）A.正定B.负定C.半正定D.不定二、填空题1．设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则向量α，β的内积（α，β）=____________.2．二次型f(x1,x2,x3,x4)=的正惯性指数为_________.3．已知矩阵A=的一个特征值为0，则x=____________.4．设向量α=（1，1，1），则它的单位化向量为_____________.5．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）-1必有一个特征值为_____________.6.已知

11、A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.7.矩阵A=的全部特征向量是___________.8.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.9.已知向量α=（2，1，0，3）T，β=（1，-2，1，k）T，α与β的内积为2，则数k=____________.10.设向量α=（b,,）T为单位向量，则数b=______________.11.已知=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为______________.12.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.则

12、A+E

13、=___________

14、.13.设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________.14．设向量___________.15．已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则

15、A*

16、=__________.16．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r(A)=__________.设方阵A有一个特征值为0，则

17、A3

18、=________________________.19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=__________________.20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_________.21.

19、矩阵A=所对应的二次型是______18.已知=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为______________.19.二次型的矩阵为______________.20.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定，则数k的取值范围为______________.三、计算题1．设矩阵A=，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.2．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：α1=，α2=.3．设矩阵A=，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D.4．求矩阵A=的全部特征值及对应的全部特征向量.5.设矩阵A