等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

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1、等差数列的前n项和·例题解析一、等差数列前n项和公式推导:(1)Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n(a1+an)]/2(公式一)(2)如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+[n(n+1)d]/2(公式二)二、对于等差数列前n项和公式的应用 【例1】等差数列前10项的和为140,其中,项数为奇数的

2、各项的和为125,求其第6项.解依题意,得解得a1=113,d=-22.∴其通项公式为an=113+(n-1)·(-22)=-22n+135∴a6=-22×6+135=3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的.这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出an而即a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们

3、相同项的和.解由已知,第一个数列的通项为an=3n-1;第二个数列的通项为bN=5N-3若am=bN,则有3n-1=5N-3若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数).又2≤5N-3≤197,即1≤N≤40,所以N=1,4,7,…,40n=1,6,11,…,66∴两数列相同项的和为2+17+32+…+197=1393【例3】选择题:实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为[]A.1,3,5  B.1,3,7C.1,3,99 D.1,3,9又∵14=5

4、a+3b,∴a=1,b=3∴首项为1,公差为2∴a50=c=1+(50-1)·2=99∴a=1,b=3,c=99【例4】在1和2之间插入2n个数,组成首项为1、末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13,求插入的数的个数.解依题意2=1+(2n+2-1)d                 ①由①,有(2n+1)d=1         ⑤∴共插入10个数.【例5】在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m≠n,求Sm+n.且Sm=Sn,m≠n∴Sm+n=0【例6】已知等差数列

5、{an}中,S3=21,S6=64,求数列{

6、an

7、}的前n项和Tn.d,已知S3和S6的值,解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出Tn来.解方程组得:d=-2,a1=9∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11其余各项为负.数列{an}的前n项和为:∴当n≤5时,Tn=-n2+10n当n>6时,Tn=S5+

8、Sn-S5

9、=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50说明根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{

10、an

11、}的前n项和.【例

12、7】在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和.解法一由a6+a9+a12+a15=34得4a1+38d=34=20a1+190d=5(4a1+38d)=5×34=170由等差数列的性质可得:a6+a15=a9+a12=a1+a20∴a1+a20=17S20=170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S20的值.解法一设等差数列{an}的公差为d,则d>0,由已知可得由②,有a1=-2-4d,代入①,有d2=4再由d>0,得d=2∴a1=

13、-10最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180解法二由等差数列的性质可得:a4+a6=a3+a7即a3+a7=-4又a3·a7=-12,由韦达定理可知:a3,a7是方程x2+4x-12=0的二根解方程可得x1=-6,x2=2∵d>0∴{an}是递增数列∴a3=-6,a7=2【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若[]∵2a100=a1+a199,2b100=b1+b199解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=an2+bn可设Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k说明该解法涉及数列{an}

14、为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由k是常数,就不对了.【例10】解答下列各题:(1)已知:等差数列{an}中a2=3,a6=-17,求a9;(2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1

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