数学：《空间角》课件(人教a版必修二)

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1、空间的角空间中的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。求空间角的一般步骤是：(1)找出或作出有关的图形；----作(2)证明它符合定义；---------证(3)计算。--------------------算补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。1、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。说明：异面直线所成角的范围是

2、（0º，90º]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90º，也是不可忽视的办法。1、直线AD与EF所成角的大小2、直线B1C与EF所成角的大小3、直线B1D与EF所成角的大小ABCDD1C1B1A1EF例1.正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,且.设α为异面直线EF与AC所成的角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+β=

3、ABCDEFαβGGF//BD而AC⊥BD训练1.空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F为AB,CD得中点,EF=,则AD,BC所成得角为训练2.若一直线与平面α梭成得角为,则该直线与平面内的直线所成的角的取值范围是A.(0,]2、直线和平面所成的角直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0º；斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；训练3:自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成角,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值

4、为PCABO从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。3、二面角二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：（2）用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平面角。APBa（3）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。用这个关系式求可锐二面角的平面角。（4

5、）射影法：如图所示，AD平面M，设AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由cos=AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDHM例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板所在平面互相垂直,若∠BAC=∠CBD=90,∠BCD=60，AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.ABCD分析1：过A作BC的垂线，怎样作出二面角的平面角？分析2：过A作AD的垂线，又怎样作出二面角的平面角？分析3：公式法ABCDEF作：过点A作AE⊥BC于E，过点E作EF⊥CD于F点，连接AF。证

6、：∵平面ABC⊥平面DBCAE⊥BC∴AE⊥平面DBC，AE⊥EF∴EF⊥CD∴AF⊥CD∴∠AFE为二面角A-CD-B的平面角算：在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2故∠AFE=arctan2ABCD过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F点，连接BF。∵平面ABC⊥平面DBCDB⊥BC∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC∵AC⊥AB∴AC⊥平面DBA平面ACD⊥平面DBA∵BE⊥AD∴BE⊥平面ACD而EF⊥CD∴BF⊥CD∴∠BFE为二面角A-CD-B的平面角(依解法1可得∠BFE=arctan2)EFABCDE设AB=aa训练4.正三棱

7、锥得一个侧面面积与底面面积之比为2:3,则该三棱锥得侧面与底面所成得二面角为训练5.正四棱锥相邻两个侧面所成得二面角一定是A.锐角B.直角C.钝角D.以上都不是训练6。设△ABC与△DBC所在的平面互相垂直.且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=,求1.直线AD与平面BCD所成角的大小2.直线AD与BC所成角的大小3.二面角A-BD-C的大小Π-arctan2ABCDOE小结：1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：（1）异面直线所成角的范围：0º90（2）直线与平面所成的角的范围：0º90（3）二面角的平面角的范围通常认为：

8、0º1802、求空间各角的大小，通常是转化为平面角来计算；基本步骤:一作二证三算3、用间接法求空间角