一维势阱和势垒问题

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1、§15-4一维势阱和势垒问题上一节我们简要地阐述了量子力学的一些基本概念和基本原理，这些概念和原理都在一维无限深方势阱、势垒和一维谐振子等问题中以最简单的形式表现出来，所以本节和下一节的内容可以看作为量子力学概念和原理的具体应用。同时，一维无限深方势阱是金属中自由电子的一个简化模型，是解释金属物理性质的基础；一维谐振子则是处理黑体辐射、晶格振动等多种物理问题的基础。一、一维无限深方势阱所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大，即(15-44)图15-1这样，粒子

2、就被限制在x=0和x=a两点之间的无限深的平底深谷中运动，如图15-1所示。因为势能u(x)与时间无关，所以这是定态问题，可以用定态薛定谔方程求解。在势阱内u(x)=0，哈密顿算符的形式成为，定态薛定谔方程可写作,(15-45)令,(15-46)方程(15-45)的解可以表示为,(15-47)式中a和a是积分常数，应分别由归一化条件和边界条件确定。粒子不可能穿越阱壁而到达阱外去，所以在阱壁和阱外波函数应为零。根据，可以确定a=0或m p，m=1,2,3,×××。于是，式(15-47)可以写为.根

3、据，可以得到ka=n p，n=1,2,3,…(15-48)于是归一化波函数可以表示为(15-53)由式(15-46)和式(15-48)可以得到(15-49)其中任意一个能量值en，都是能量的本征值，由式(15-49)所表示的整套能量本征值，就是系统的能谱。显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。粒子的最低能量状态称为基态，就是n=1的状态，基态的能量为.(15-50)此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方势阱内的粒子所具有的最低能量。既然量子系统具有零点能，就必

4、定存在零点运动。这一结果与经典物理学概念相矛盾，经典物理学的结论是当系统的温度达到绝对零度时，一切运动都将停止，能量变为零。图15-2中画出了对应于能量本征值e1、e2、e3和e4的波函数y1、y2、y3和y4，以及相应的概率密度、、和。>>>>详细说明二、势垒穿透和隧道效应从上面对无限深方势阱的讨论我们已经看到，无限高的势垒把粒子完全束缚在阱区之内。现在让我们看一下，有限高的势垒是否也能把粒子束缚住。有一如图15-3所示的方形势垒，具有下面的形式图15-3当能量为e(

5、势垒时，若问粒子能否穿透势垒到达s区，只能从求解定态薛定谔方程中得到答案。这实际上是粒子被势垒散射的一维问题，粒子从无限远来，沿图15-3中箭头所示的方向射向势垒，按一般的估计，可能一部分被反射，还有一部分透射。在p区和s区薛定谔方程的形式为,(15-55)其中.(15-56)在q区粒子应满足下面的方程式,(15-57)式中.(15-58)以上两个方程都可以用分离变量法求解，并得(p区),(15-59)(q区),(15-60)(s区).(15-61)在p区，波函数包括两部分，一部分是沿x方向传播

6、的入射波a1eikx，另一部分则是沿-x方向传播的反射波b1e-ikx，并可以由系数a1和b1确定势垒的反射系数.(15-62)在q区，也存在沿x方向传播的透射波a2egx和沿-x方向传播的反射波b2e-gx。在s区，只可能存在沿x方向传播的透射波a3eikx，所以势垒的透射系数可以表示为.(15-63)系数a1、b1、a2、b2和a3可以根据归一化条件以及波函数及其导数在x=0和x=a处连续的要求加以确定。图15-4我们感兴趣的是，在粒子能量e

7、是透射系数t¹0的问题。按上述方法确定a1和a3即可求得透射系数t。结果表明，一般情况下透射系数t¹0。粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。图15-4是在隧道效应中波函数分布的示意图。从经典物理学观点看，粒子不可能穿透比其动能高的势垒。但是隧道效应作为量子力学的结论已为实验所证实。隧道效应在现代科学技术中有许多重要应用。于1982年发明的扫描隧道显微镜(stm)是电子隧道效应的重要应用之一。这种显微镜中的一个重要部件是一根用特殊工艺加工的金属探针，其尖端的尖锐程度接近单个原子的线度

8、。被测金属(或其他导电材料)中的电子由于隧道效应而穿透其表面势垒到达表面外侧，当探针尖端靠近此被测表面时，尖端的原子中电子的波函数就可能与这些电子的波函数发生交叠。若在探针和被测表面之间施加一微小电压，就会形成电流，这种电流称为隧道电流。显然，隧道电流的大小与两极电子波函数交叠程度有关，而电子波函数的交叠程度又与尖端到被测表面的距离十分敏感。探针在被测表面上方的扫描可以采用两种方法，一种是控制隧道电流恒定，则探针在表面上方将起伏变化，另一种方法是控制针尖高度恒定，则隧道电流将发生大小变化。无论探