16-3 一维势阱和势垒问题

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1、薛定谔方程的简单应用找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的通解——即波函数根据波函数应满足的归一化条件写出波函数对量子力学处理的结果进行分析§16-3一维势阱和势垒问题1.一维无限深势阱粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外。一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型一维无限深方势阱的数学表达形式：一维无限深方势阱的图形表达形式：∞0aU(x)∞x粒子只能在宽为a的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深方势阱。因为

2、系统的势能与时间无关，因此这是一个定态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。————定态薛定谔方程列出各区域的定态薛定谔方程势阱内00，令定态薛定谔方程变为此薛定谔方程的解为式中A和α是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即————边界条件波函数改写为：讨论一：n不等于零此时波函数没有物理意义，故舍去。讨论二：n不取负

3、数此时波函数与n取正数时代表相同的概率分布，即无法给出新的波函数，故舍去。这说明：并非任何E值所对应的波函数都能满足一维无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的值En（体系的能量本征值）时，相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。与能量本征值En相对应的本征波函数n(x)为：利用归一化条件取A为正实数波函数：讨论：①粒子的能量粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势阱的基态能量为：————零点能与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表现，因为

4、“静止的波”是没有意义的。（1）一维无限深势阱的粒子波函数②图形一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度基态的波函数(n=1)无节点，第一激发态(n=2)有一个节点，第k激发态(n=k+1)有k个节点。除端点外，（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分布时量子经典a

5、2n

6、n很大En0一维无限深势阱例1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有正交性：即不同能级的波函数是互相正交的。解:波函数取其复共轭相乘并积分，得属于不同能级的波函数是正交的。把波函数的正交性和归一性表示在一起，克罗内克符号二、势垒穿透和隧道效应有限高的方形势垒数学形式：图形形式：考

7、虑粒子的动能E小于势垒高度U0的情况。（Ea的区域。这种势能分布称为一维势垒。在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：OIIIIII在各个区域的波函数分别表示为1、2、3。OIIIIII令：三个区间的薛定谔方程简化为：方程的通解为：三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）

8、”反射的反射波。3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，3的第二项为零，因为在x>a区域不可能存在反射波(B3=0)。定义反射系数：————粒子被势垒反射的概率————被势垒反射的粒子数/入射到势垒上的粒子数定义透射系数：————粒子穿过势垒的概率————穿过势垒的粒子数/入射到势垒上的粒子数————概率守恒反射系数R和透射系数T的具体值，需要根据波函数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在全空间连续）来确定。利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：求出解的形式画于图中。IIIIII讨论：（1）E>U0按照经典力学观点,在E>U0情况下，粒子应畅通无阻

9、地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。IIIIII（2）Ea区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a区域。粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。经典量子隧道效应当时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。结果表明：势垒高度U0越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。如果a或μ为宏观大小时，，粒子实际上将不能穿过