2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教b版选修2-1

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1、3.1.2空间向量的基本定理学习目标1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．知识点一共线向量定理与共面向量定理1．共线向量定理两个空间向量a，b(________)，a∥b的充要条件是________________，使________________．2．向量共面的条件(1)向量a平行于平面α的定义→已知向量a，作OA＝a，如果a的基线OA________________________，则就说向量a平行于平面α，记作_____

2、___．(2)共面向量的定义平行于____________的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理如果两个向量a，b__________，则向量c与向量a，b共面的充要条件是____________，使____________．知识点二空间向量分解定理1．空间向量分解定理如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，________________________，使__________．2．基底如果三个向量a，b，c是三个____________，则a，b，c的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个________，记作

3、________，其中a，b，c都叫做__________．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的____________或____________．类型一向量共线问题→→例1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，→2→且A1F＝FC.求证：E，F，B三点共线．31反思与感悟判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．跟踪训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向→→→量EF与AD＋BC是否共线？类型二空间向量共

4、面问题例2如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四OEOFOGOH条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面．OAOBOCOD反思与感悟(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．(2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．→→→→②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一

5、点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．2③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．→1→1→1→跟踪训练2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足OM＝OA＋OB＋OC，判断333→→→MA，MB，MC三个向量是否共面．类型三空间向量分解定理及应用→→→例3如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量．→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(

6、4)AQ.反思与感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．→跟踪训练3如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，→→→OB＝b，OC＝c.试用向量a，b，c表示向量GH.31．对于空间的任意三个向量a，b,2a－

7、b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量2．已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的→→→→→→→→→→点，若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN满足的关系为()→→→→A.EF＝MNB.EF∥MN→→→→C．

8、EF

9、＝

10、MN

11、D．

12、EF

13、≠

14、MN

15、→→→3．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2