图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集

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1、对角互补和角含半角旋转真题链接【例1】在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围．（2012北京中考）【答案】（1）补全图形，见图1；；（2）猜想：．证明：如图2，连结．是的中点，．点在直线上，一轮复习课

2、程·图形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of17．又为公共边，．又，．在四边形中，．（3）的范围是．课堂练习一、对角互补旋转【例1】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．【答案】连接．因为且，所以．因为是的中点，所以，且，则．因为，所以，所以，所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．【例2】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形

3、的面积是16，求的长．一轮复习课程·图形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of17【答案】如图，过点作，延长交于点，容易证得（实际上就是把逆时针旋转，得到正方形）正方形的面积等于四边形面积为，∴．【例1】在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．【答案】连接．由于，．我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．所以．在与中，因为，，，故≌，因此，即平分．【例2】在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求∠BAO

4、的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF＝PQ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．一轮复习课程·图形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of17图1图2【答案】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（－6，0），B（0，6）．∴OA=OB

5、．∴在△AOB中，．∴．（2）在等腰直角三角形APD中，，DA=DP，．∴DP⊥AD于D．由（1）可得．∴．又∵PG⊥x轴于G，y∴PG=PD．∴．∴．∴．即．又∵PQ⊥PF，∴．∴．在△PGF和△PDQ中，∴△PGF≌△PDQ（ASA）．∴PF=PQ．一轮复习课程·图形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of172x图1ABQGPOFD134756图2DAEBOyPxH3412（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．证明：延长DP至H，使得PH=PD．∵P为BE的中点，∴PB=PE．在△PBH和△PED中，

6、∴△PBH≌△PED（SAS）．∴BH=ED．∴．∴BH∥ED．在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，．∴AD=BH，.∴DE∥x轴，BH∥x轴，BH⊥y轴．∴．由（1）可得OA=OB．在△DAO和△HBO中，∴△DAO≌△HBO（SAS）．∴OD=OH，∠5=∠6．∵,∴.∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，.∴．∴OP=PD．二、角含半角旋转【例1】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．一轮复习课程·图形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of17【答案】延长至，使

7、，连结，易证，，．再证，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有．【例1】如图，点是以为圆心，为直径的半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点重合，当此三角板绕点旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于、两点．设线段的长为，线段的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）．A．B．C．D．（2014海淀一模）【答案】C【解析】由角中半角可知，，，，，，，，，，，，，．故选C．【例2】阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，连结，则，试说明理由．一轮复习课程·图

8、形变换·对角互补和角含半角旋转·习题集·教师版Page17of17小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点逆时针旋转得到，再利用全等的知识解决了这个问题（如图）