第2章 线性回归的基本思想：双变量模型

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1、第2章线性回归的基本思想：双变量模型1.4经济计量学方法论1建立理论假说2收集数据3建立数学模型4建立经济计量模型5参数估计6模型设定检验7检验源自模型的假设8利用模型进行预测2.1回归的含义2.2总体回归函数2.3总体回归函数的随机设定2.4随机误差项的性质2.5样本回归函数2.6“线性”回归的特殊含义2.8参数估计:普通最小二乘法2.1回归的含义回归分析是指研究一个变量(应变量)对另一个或多个变量(解释变量)的依赖关系。目的在于通过后者（在重复抽样中）的已知或者设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。家庭收入与消费支出施肥量与小麦产量应变量Y解释变量X多个解释变量1回归分析与确定性

2、分析函数关系研究的是变量之间的确定性关系。回归分析研究的是变量之间的依赖关系或者统计关系。某商品的需求量与消费者的收入销售收入=价格*销售量2回归分析与因果关系要确定因果关系，必须以经济理论为依据。比如我们说农作物的收成依赖于降雨量、施肥量等，但是没有统计上的理由可以认为降雨量不依赖于作物的收成。我们之所以把农作物的收成看作是依赖于降雨量等的应变量，是出于常识的考虑，因为常识告诉我们不能用改变作物收成的办法来控制降雨量。3回归分析与相关分析相关分析变量性质均为随机变量，无应变量和自变量之分。分析方法相关系数分析目的揭示两变量之间的线性关联度回归分析随机变量（Y），确定性变量（X）建立回归方程

3、揭示变量之间的数量依存关系，并根据自变量的数值变化去推测因变量数值变化。数学SAT分数家庭年收入（万美元）2.2总体回归函数（确定的）总体回归函数：其中，称为Y的条件期望称为截距称为斜率系数它测度了解释变量X每变动一个单位，应变量Y的均值的变化率。uu470452528500500075000家庭年收入（美元）数学SAT分数3.3总体回归函数的随机设定确定性成分随机性成分（随机的）总体回归函数（PRF）表示随机误差项，它代表除了收入以外所有其它的对博彩支出影响的因素。3.4随机误差项的性质1随机误差项代表了模型中并未包括的其它解释变量的影响。由于理论上的缺陷，我们并不能确定影响应变量的所有解

4、释变量都是哪些。而有的时候，即使知道应该包括某些变量，但不一定得到相应的数据。比如影响人们消费的因素除了收入之外，财富也是一个重要的影因素，但受数据可获得性的限制，我们通常无法知晓一个家庭的财产究竟有多少，因而这个变量无法纳入回归模型中去，但它确确实实地对家庭的消费产生着影响，因而我们只能用误差项来描述这种影响。2人类行为的内在随机性。即使我们把所有有关的解释变量都引入到回归模型中，但个别的Y中仍不免有一些“内在”的随机性是我们无法解释的。3随机误差项可能代表了测度误差4考虑到节省原则，模型应该简洁。这样必然有一些不甚重要的变量没有纳入到回归模型中来。如果我们能用两三个比较重要的解释变量，如

5、价格、偏好和收入就能较好地解释需求量的变化，就没有必要再添加其它一些对需求量虽然有点影响但影响并不太大的变量。SRL1SRL2家庭年收入（美元）数学SAT分数2.5样本回归函数确定的样本回归函数根据从总体中抽取的一个特定样本可以拟合一条特定的样本回归直线，建立一个特定的样本回归函数。其中，表示总体条件均值的估计量表示的估计量的估计量表示随机的样本回归函数与随机的总体回归函数相对应，随机的样本回归函数为：其中，称为残差项。可以看作是的估计量PRFSRFA家庭年收入（美元）数学SAT分数注意区分确定的总体回归函数：随机的总体回归函数：确定的样本回归函数：随机的样本回归函数：注意区分指从总体中实际

6、抽取的观测值指根据样本回归方程得到的Y的拟合值或估计值指Y的条件均值（相对于总体而言）指Y的样本均值Y2.6“线性”回归的特殊含义1解释变量为线性解释变量X以一次方的形式出现在方程中，解释变量X不与其它变量相乘或相除。2参数线性参数以一次方的形式出现在模型中。判断下列模型是否为线性回归模型2.8普通最小二乘法2.8.1普通最小二乘法从定义上看，二乘即平方，指残差的平方，最小指使得这些残差的平方和达到最小。通过样本数据按照残差平方和最小的原则来估计总体回归模型中的参数的方法叫普通最小二乘法，又称最小平方法。最小二乘法的思路1为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对观察值，才不

7、至于以点概面（作到全面）。2在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。任务？找出一条能够最好地描述Y与X（代表所有点）之间的直线。3什么是最好？—找出判断“最好”的原则。最好指的是找一条直线使得这些点到该直线的纵向距离的平方和最小。三种距离yx纵向距离横向距离距离A为实际点，B为拟合直线上与之对应的点问题：为什么要使残差的平方和最小，而不是残差和最小呢？考虑到符号问题，如果将各残差取绝对值，然后再加总，计算过程会