用平均值定理求某些问题的最值

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1、[文件]sxgdja0020.doc[科目]数学[年级]高中[章节][关键词]平均值/最值/函数[标题]用平均值定理求某些问题的最值[内容]石景山区教师进修学校贾光辉教学目标1.掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．2.通过利用平均值定理解决一些有关问题，进一步培养学生的观察能力、分析问题解决问题的能力．3.培养学生转化的数学思想．4.通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．教学重点与难点重点：用平均值定理求某些函数的最值及解决有关的应用问题．难点：注意定理的使

2、用条件，正确地应用平均值定理．教学过程设计(一)引入新课师：对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题．解决这类问题在初等数学的范围内并没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题．因此，同学们要随着知识的增加，不断地总结一些常用方法．前面，我们学习了不等式的性质、证明．不等式与函数的最值有无联系呢?举个例子．生甲：有联系．如(x+1)2≥0这个不等式就给出了函数y＝(x+1)2在定义域R上的最小值0．生乙：有联系．如求函数y＝的最值，可以用判别式法．构造Δ≥0这个不等式达到了求函数最值的目的．

3、师：这两个同学所举的例子说明不等式既是描述函数最值问题的数学语言，又是求解函数最 值的有力工具．其实，不等式刻画的是数量之间的大小关系和变量的变化范围，而函数的最值则是通过数量 大小的比较所反映的变量在一定范围内变动时所能达到的界值．因此，它们之间有密切联系．让我们来看一个实际问题．(出示投影)(投影片1)引例用篱笆围一块面积为50m2的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少米时，所用篱笆最省?此时，篱笆墙长为多少米?22师：这是一个实际问题，问题的实质是什么?可抽象成怎样的数学问题?生：问题的实质是求篱笆墙三边分别长多少米时，其和的最

4、小值．如果设矩形宽为xm，那么由已知可得矩形的长为m．再设篱笆墙长为ym，把这个实际问题抽象成数学问题是：求函数y＝2x+(x＞0)的最小值并求取得最值时相应的x值．师：很好!这个函数的最值用我们以前学过的判别式方法可以求出吗?生：点头示意．师：它是最佳解法吗?除了构造不等式Δ≥0求出此函数的最值以外，同学们能否利用不等式的有关知识构造出其 它不等式呢?仔细观察这个函数．生：用平均值不等式的变形式a+b≥就可以求出这个函数的最小值．y＝2x+≥此函数的最小值为20．师：使用平均值不等式变形式有条件限制吗?生：有．要求a，b∈R+，本题中x＞0

5、，＞0，满足条件．师：此函数何时取得最小值?生：当2x＝，即x＝5时，这个函数取得最小值．师：此时，问题解决了吗?生：应该把这个数学问题还原成实际问题，篱笆墙三边分别长5m，10m，5m时，所用篱笆最省．此时，篱笆墙长20m．师：回顾解题过程，求得这个函数最值的关键是什么?生：2x＞0，＞0且2x·是一个常数．师：问题的关键抓得很准．怎样求得函数取得最小值时相应的x值呢?生：当2x＝时，函数取得最小值．22师：假如满足2x＝的x值不在函数的定义域内，如函数y＝2x+(x≥6)，当2x＝时，函数能取得最小值吗?生：只有在2x＞0，＞0且2x·5

6、0x为常数的前提下，当2x＝且求得的x在函数的定义域内，函数取得最小值．师：概括得很好，这正是这节课我们要研究的用平均值定理求某些函数的最值．(板书课题) (二)推证定理师：(板书)平均值定理：若a，b∈R+则≥，当且仅当a＝b时，取“＝”号；若a，b，c∈R+，则≥，当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号．师：我们把平均值定理改写成求某些函数(如引例中的函数)最值的命题．(板书)已知两个正变数的积是一个常数．那么当且仅当这两个数相等时，它们的和取最小值．师：类似地，你能否说出求某些函数最大值的命题呢?生：已知两个正变数的和是一个常数，那么当且仅当

7、这两个数相等时，它们的积取最大值． (教师板书)师：下面请同学们证明这个命题．生：设这两个正变数为x和y．如果xy＝P(常数)，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得x+y≥．当且仅当x＝y时，有x+y＝．这就是说，当x＝y时，x+y有最小值．如果x+y＝S(常数)，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得，即xy≤当且仅当x＝y时，有xy＝．这就是说，当x＝y时，xy有最大值师：既然已经证明了上述命题为真命题，那么我们把它叫做定理1．类似地，由三个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数，谁能说出求某些函数最值的定

8、理2呢?生：定理2已知三个正变数和积(和)是一个常数，那么当且仅当这三个数相等时，它们的和(积)取得小(大)值．(投影片2)师：利用这两个定理，可以解决许多定积或定