6.6 多元函数的极值及其求法

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第6章多元函数微积分6.6多元函数的极值及其求法习题解1．求下列函数的极值，并判断极大与极小：⑴；【解】解方程，求得驻点为，，，，无不可导点，再求出二阶偏导数，，，于是，①在点处，有，，，有，且，知函数在有极大值，为；②在点处，有，，，有，知函数在无极值；③在点处，有，，，有，知函数在无极值；④在点处，有，，，有，且，知函数在有极小值，为。⑵；【解】解方程，求得驻点为，无不可导点，5 第6章多元函数微积分6.6多元函数的极值及其求法习题解再求出二阶偏导数，，，于是在点处，有，，，有，且，知函数在有极大值，为。⑶。【解】先求出偏导数，，，，于是有解方程，求得驻点为，无不可导点，于是在点处，有，，，有，且，知函数在有极小值，为。2．讨论函数及在原点处是否取得极值。【解】⑴先讨论函数在原点处是否取得极值：由知原点是函数的驻点，因为，，，知在原点处有，，5 第6章多元函数微积分6.6多元函数的极值及其求法习题解从而，说明函数在原点处是否取得极值不能应用定理6.6.2进行判别，须另用它法。易见，函数在原点附近，两个一阶偏导数，不变号，从而函数在原点处无极值，也可看到，函数在原点附近既可取到正值，也可取到负值，可见不是极值。⑵再讨论函数在原点处是否取得极值：由知原点是函数的驻点，因为，，，知在原点处有，，从而，说明函数在原点处是否取得极值不能应用定理6.6.2进行判别，须另用它法。易见，函数恒成立，且等号仅在时成立，即知函数在原点处取得极小值0。3．求棱长之和为12（），且具有最大体积的长方体体积。【解】设长方体的长、宽、高分别为、、,则有，由于长方体的体积为，构造拉格朗日函数,解方程组，得，从而代入条件，得，即体积函数在给出条件下有唯一可能极值点，5 第6章多元函数微积分6.6多元函数的极值及其求法习题解由问题实际可知，就是最大值点，于是知，具有最大体积的长方体体积为。4．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告。根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：⑴在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；⑵若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。【解】⑴在广告费用不限的情况下，广告总费用为，广告总利润为于是由方程组，得唯一可能极值点，由问题实际可知，就是最大值点，即知，在广告费用不限的情况下，最优广告策略是，用0.75万元做电台广告费用，用1.25万元做报纸广告费用。⑵若提供的广告费用为1.5万元，即有条件限制为，构造拉格朗日函数,于是由方程组，得，从而由解得唯一可能极值点，由问题实际可知，就是最大值点，5 第6章多元函数微积分6.6多元函数的极值及其求法习题解即知，在提供的广告费用为1.5万元的情况下，最优广告策略是，1.5万元全部用于做报纸广告费用。5．设某工厂生产甲产品数量吨与所用两种原料,的数量，（吨）间的关系式，现准备向银行贷款150万元购原料，已知,原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多？【解】问题即为求生产的数量函数在条件下的最大值，构造拉格朗日函数，于是由方程组得，从而由解得唯一可能极值点，由问题实际可知，就是最大值点，即知，应购进原料100吨，原料25吨，才能使生产的数量最多。5