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《高三数学专题复习：第二部分第四讲考前优化训练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1．(2011年高考福建卷)设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得于是f(θ)＝sinθ＋cosθ＝×＋＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．于是0≤θ≤.又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2si
2、n(θ＋)，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.2．如图所示为某军训练基地，一条坑道宽4m，坑道中有3排等距离的木柱子，并且木柱子上端与坑道面是水平的，士兵可以借助木柱子跳跃过坑道，已知士兵跳跃2m的概率为，跳跃1m的概率为，假定士兵从起跳点起跳，落在坑道边的着脚点处(落在任一着脚点处均可)．(1)求士兵跳跃3次过坑道的概率；(2)设士兵跳跃过坑道时跳跃的次数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)设起跳点为0，三排木柱子分别为1,2,3
3、，着脚点为41,42，则士兵跳跃3次过坑道的情形有：2次2m,1次1m或2次1m,1次2m的两种情况，即0→1→3→42,0→2→3→42；0→1→2→41,0→1→3→41,0→2→3→41.概率为2×2×＋3×()2×＝.(2)随机变量X的取值为2,3,4，则P(X＝2)＝2＝，即(0→2→41)，P(X＝3)＝2×2×＋3×2×＝，P(X＝4)＝3＝，即(0→1→2→3→41,0→1→2→3→42)，∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝.3.如图所示，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，E为棱CC1上的动点，
4、F是线段AB的中点，AC＝BC＝2，AA1＝4.(1)求证：CF⊥平面ABB1；(2)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；(3)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°？若存在，求CE的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱B1B⊥底面ABC，∵CF⊂平面ABC，∴B1B⊥CF.∵AC＝BC，F是线段AB的中点，∴CF⊥AB.∵AB，B1B是平面ABB1内两相交直线，∴CF⊥平面ABB1.(2)证明：如图所示，取AB1的中点D，连接ED，DF.∵DF是
5、△ABB1的中位线，∴DF綊B1B.∵E是棱CC1的中点，∴EC綊B1B.∴DF綊EC.∴四边形EDFC是平行四边形．∴CF∥ED.∵CF⊄平面AEB1，ED⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB1.(3)假设存在点E，使二面角A－EB1－B的大小为45°，由于∠ACB＝90°，易证AC⊥平面BEB1，过C点作CK⊥直线B1E于K，连接AK，则∠AKC为二面角A－EB1－B的平面角，∴∠AKC＝45°.∴CK＝AC＝2，设CE＝x，则＝，x＝，故线段CE＝.综上，在棱CC1上存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°，此时CE
6、＝.4．(2011年高考四川卷)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．解：由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a，S4＝a.当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝.若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差
7、数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以，am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．5．(2011年高考北京卷)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将
8、AB
9、表示为m的函数，并求
10、AB
11、的最大值．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.(2)由题意知，
12、m
13、≥1.当m＝1时，切线l的方
14、程为x＝1，点A，B的坐标分别为，，此时
15、AB
16、＝.当m＝－1时，同理可得
17、AB
18、＝.当
19、m
20、>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由，得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2
