表征孔隙及颗粒体积与尺度分布的两类岩土体分形模型

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1、表征孔隙及颗粒体积与尺度分布的两类岩土体分形模型陶高梁张季如摘要：国内外大量研究表明岩土体具有分形特征。目前，国内已有许多孔隙体积分形模型、颗粒体积分形模型及孔径、粒径分布分形模型，但是，这些模型种类繁多，有些结论甚至相互矛盾，还没有形成统一公认的分形模型。再者，上述模型都是由不同学者分别提出，模型之间的联系与区别尚不清楚。事实上，岩土体是由孔隙和颗粒组成的统一体，孔隙体积分形模型、颗粒体积分形模型及孔径、粒径分布分形模型之间必然存在内在联系。本文以著名的Sierpinski垫片和Menger海绵模型为基础，提出了由孔

2、隙体积分形模型、颗粒体积分形模型及孔径或粒径分布分形模型组成的两大类岩土体分形模型，指出了模型间的内在联系。通过比较与分析，发现该两类岩土体分形模型能将许多著名模型统一起来，从而形成了两类统一的岩土体分形模型。本文通过分析Katz对砂岩的实验结果，发现砂岩的分形特性可采用第一种分形模型表示，文中还以软黏土微观孔隙电子扫描数据为基础，证明了软黏土满足第二种分形模型。关键词：；岩土体；孔隙体积；颗粒体积；孔径；粒径；分形模型1前言由Mandelbrot(1977,1982)创建并发展的分形（fractal）理论已被广泛地应

3、用于众多的领域。大量研究表明，由形状与大小各异的岩土体颗粒和孔隙组成的岩土体具有分形特性[1~25]。自分形理论应用于岩土体以来，国内外学者提出了许多岩土体颗粒或孔隙的分形模型[1~19]，并在此基础上研究了岩土体的孔隙率、运输特性、渗透性和结构性本构关系等等，已取得了很好的效果。但是，目前岩土体分形种类繁多，分别由不同学者提出，模型之间的联系与区别尚不清楚，有些模型看上去还相互矛盾，模型的适用范围有待查清、以免发生分形模型的错用，因此，有必要对岩土体分形模型进行深入研究，有待提出比较统一的、有明确适用范围的岩土体分形

4、模型，以利于分形理论在岩土工程中进一步的应用。本文首先总结了国内外学者提出的主要岩土颗粒分形模型（包括颗粒体积分形模型和粒径分布分形模型）和孔隙分形模型（包括孔隙体积分形模型和孔径分布分形模型）。然后，以著名的Sierpinski垫片和Menger海绵模型为基础，按岩土体颗粒和孔隙的不同填充方式，分别提出两类岩土体分形模型，每类模型都是由孔隙体积分形模型、颗粒体积分形模型及孔径或粒径分布分形模型组成，子模型间的联系豁然清楚。在模型的推导过程中，本文首次利用数学微积分的知识导出了岩土颗粒粒径分布函数及分布分形模型（岩土孔

5、隙孔径分布函数及分形模型），首次利用Sierpinski垫片模型论证了岩土颗粒粒径分布分形模型的正确性。通过与国内外其他学者提出的分形模型的比较和分析，发现本文提出的两大类岩土体分形模型基本能包含目前的著名的岩土体孔隙体积分形模型、颗粒体积分形模型及孔径、粒径分布分形模型，因而形成了统一的岩土体分形模型。通过分析Katz对砂岩的实验结果，发现砂岩的分形特性可采用第一种分形模型表示，此外，文中使用电子扫描镜（SEM）来研究软黏土微观结构，测量数据表明软黏土具有第二种岩土介质分形模型的分形特征，同时得出了软黏土在固结过程中

6、的一些微观变化规律。2国内外岩土体分形模型综述2.1孔隙分形模型Katz＆Thompson[1]使用扫描电镜和光学显微镜量测到的数据表明砂岩孔隙在一定范围内确实具有分形特性，并由分形统计学正确预测了砂岩的孔隙率。这样的孔隙率?的表达式为：??A(L1/L2)3?D（1）其中A为常数，在一定范围内取1，L2是计算孔隙率所考虑岩土体的范围，L1是测量尺度，实际用电子扫描技术计算砂岩总孔隙率时，L1取砂岩晶体最小颗粒粒径。BOMINGYU＆JIANHUALI[11]以sierpinski垫片为基础，将上述分形模型改为：二维：

7、??(?min2?D（2）)?maxf三维：??(?min3?D（3）)?maxf其中?为孔隙率，?max、?min为自我相似区域的上下限，Df为分维数。实质上，当A取1时，（1）式与（3）式完全一致。FRIESEN[12]，谢和平[2]根据海绵体模型提出孔隙体积满足下述表达式：?dVpdr?r2?Db（4）其中Vp为孔径大于或等于r的孔隙体积，Db为分维数。徐永福建[13]立了膨胀土微观孔隙分维模型，认为微观孔隙满足：n(r)?br?D（5）其中n(r)为孔隙半径为r的孔隙数目，b为常数，D为孔隙分维数。一些学者发现

8、储层岩石的孔隙结构具有分形结构特征[14~19]，储层岩石中的孔隙半径大于r的孔隙数目N(?r)与孔隙半径r之间关系为；N(?r)??r?D（6）其中?为常数，D为孔隙分维数。2.2颗粒分形模型1983年，Mandelbrot首先建立了二维空间的颗粒大小分形特征模型[10]：??RA(r?R)?C??1?()2?D?（7）????