monte carlo simulation methods

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1、1蒙特卡罗模拟方法MonteCarloSimulationMethods2主要内容1.各种随机数的生成方法.2.MCMC方法.3蒙特卡罗模拟是一种随机模拟方法。以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。又称统计模拟法、随机抽样技术。由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代为研制核武器而首先提出。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率∏。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。4从Buff

2、on投针问题谈起5Buffon投针问题6试验者时间(年)针长投针次数相交次数π的估计值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.141592927数值积分问题8MonteCarlo数值积分的优点与一般的数值积分方法比较，MonteCarlo方法具有以下优点：9随机模拟计算的基本思路1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。2.对模型中的随机变量建

3、立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度(方差)的估计4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率10随机数的生成1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudo-randomnumbers)。3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。

4、11U(0,1)随机数的生成一个简单的随机数生成器：12一个简单的例子13一个简单的例子(续)上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长度是10，而后两个生成器的周期长度只有它的一半。我们自然希望生成器的周期越长越好，这样我们得到的分布就更接近于真实的均匀分布。14线性同余生成器(LinearCongruentialGenerator)15常用的线性同余生成器ModulusmMultiplieraReference2^31-1=214748364716807Lewis,Goodman,andMiller214748364739373L’Ecuyer2147483647742938285Fi

5、shmanandMoore2147483647950706376FishmanandMoore21474836471226874159FishmanandMoore214748339940692L’Ecuyer214748356340014L’Ecuyer16复杂一些的生成器（一）1.CombiningGenerators:17复杂一些的生成器（二）2.Multiplerecursivegenerator18算法实现许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如c中的random()函数，Matlab中的rand()函数等。但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如c中的函数生成的随机数性质就

6、比较差，如果用c，最好自己再编一个程序。Matlab中的rand()函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随机数，可以直接利用。19由rand()函数生成的U[0,1]随机数20由rand函数生成的2维随机点21从U(0,1)到其它概率分布的随机数U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率分布随机数的基础，下面我们主要介绍两种将U(0,1)随机数转换为其他分布的随机数的方法。1.逆变换方法(InverseTransformMethod)2.舍取方法(Acceptance-RejectionMethod)22InverseTransformMethod23InverseTransfo

7、rmMethod24几个具体例子（一）25几个具体例子（二）26几个具体例子（三）27标准正态分布随机数的生成正态分布是概率统计中最重要的分布，在此我们着重讨论如何生成标准正态分布随机数。引理：28Box-Muller算法29逆变换方法（一）我们无法通过具体的数学表达式计算正态分布函数的逆函数，我们必须通过数值的方法逼近正态函数下面我们介绍Beasley-Springer-Moro方法。30逆变换方法（二）31逆变换方法（三）a0=