高等代数 预备知识

《高等代数 预备知识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第7页共7页高等代数预备知识一知识回顾1、数的发展自然数()整数有理数实数()复数（这会导致数的研究）2、式的发展字母代替数单项式多项式、分式、根式3、方程的发展（1）（一元多次方程）一元一次方程一元二次方程…（这会导致抽象代数的研究）（2）（多元一次方程组）二元一次方程组三元一次方程组…（这会导致高等代数的研究）4、函数的发展具体函数（一次、二次、指数、对数函数）抽象函数（这会导致数学分析的研究）二、复习知识1、复数复数是指能写成如下形式的数,这里和是实数，是虚数单位（即-1开平方根）。由意大利米

2、兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。复数的定义　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。　(1)　定义：形如的数称为复数，其中规定为虚数单位，且（是任意实数）　　我们将复数中的实数称为虚数Z

3、的实部，记作。　　实数称为虚数的虚部，记作.第7页共7页　　易知：当时，，这时复数成为实数；　　当且时，，我们就将其称为纯虚数。　　(2)定义：对于复数，称复数为的共轭复数。(3)定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作.即对于复数，它的模　　复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集　　复数集是无序集，不能建立大小顺序。2、复数的四则运算法则：　　若复数，，其中，则　　，　　，　　3、复数的加法乘法运算律：　　4、虚数单位i的乘方：　　(其中）5、复数的其他表达　　复数有

4、多种表示形式，常用形式叫做代数形式。　　下面介绍另外几种复数的表达形式。　　①几何形式。　　在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图）　　这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定　　复数用复平面上的点第7页共7页表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。　　②向量形式。复数用一个以原点O为起点，点为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。　　③三角形式。复数化为三角形式　　　式中，是

5、复数的模（即绝对值）；　　θ是以轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz，即　　argz=θ=arctan，　　这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。　　④指数形式。将复数的三角形式中的换为，复数就表为指数形式6、复数三角形式的运算　　设复数的三角形式分别为和，那么　　　复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；　　一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。7、棣莫佛定理（复数的乘方）对于复数,有的次幂　　（其中是正整数）复数的开方

6、若,则8、单位根第7页共7页复平面上的三次单位根数学上，单位的次根是次幂为的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是。这方程的复数根为单位的次根。单位的次根有个：9、本原根单位的次根以乘法构成n阶循环群。它的生成元是单位的次本原根。单位的次本原根是，其中和互质。单位的次本原根数目为欧拉函数。例子（1）单位的一次根有一个。（2）单位的二次根有两个：和，只有是本原根。（3）单位的三次根是其中是虚数单位；除外都是本原根。（4）单位的四次根是第7页共7页其中和是本原根。10、和式当

7、不小于，单位的次根总和为。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：。第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的项系数为零得出。11、数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当取第一个值时结论正确；(2)假设当时结论正确,证明当时结论也正确．完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．例子：归纳、猜想、证明12、集合的运算定义(集

8、合的交、并、差)设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集第7页共7页，记做。13、集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义（集合的映射）设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。