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《初中数学竞赛专题选讲(初三7)-待定系数法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1.多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).都是恒
2、等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).求：①a+b+c； ②a－b+c.解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4. ②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即如果a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an= b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn那么a0=b0，a1=b1， ……，an－1=bn－1，an=bn.上例中又解：
3、∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.∴a=2, b=－2, c=－4.∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例1.已知：求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值）， 当x=0时， 2＝－6A. ∴A＝－.当x=3时， 8＝15B. ∴B＝.当x=－2时， 8＝10C.
4、 ∴C＝.本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2.把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得
5、 x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a +bx2－2bx+b +cx－c +d用恒等式的性质，比较同类项系数，得 解这个方程组，得∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.本题也可用换元法： 设x－1=y, 那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y的多项式，最后再把y换成x－1.例1.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2 （设待定的系数，要尽可能少
6、.）右边展开，合并同类项，得 4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组； 或.解得.例2.推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.原方程化为x3+.∵x1, x2, x3是方程的三个根.∴x3+(x－x1)(x－x2)(x－x3).把右边展开，合并同类项，得x3+=x3－(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.比较左右同类项的系数，得
7、一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=－， x1x2+x1x3+x2x3＝， x1x2x3＝－.教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)例1.已知：x3+px+q能被（x－a）2 整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b. 由①得b=2a， 代入②和③得
8、 ∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2=4×（－27a6）+27×（4a6）=0. （证毕）.例2.已知：f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2＋25的因式，也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f(1)的值.解：∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它们的和、差、倍也能被f(x)整除.
