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1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)初中数学竞赛专题选讲（初三.3）配方法一、内容提要 1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a2+b2配上2ab， ②由2ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.原式＝x4+4＋4x2
2、－4x2=(x2+2)2－4x2＝…… 这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简.我们把5－2写成2－2＋3＝－2＋＝（－）2.这是由2ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时， a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2的最值.∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3. 这是由a2±2ab配
3、上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0. 要使等式成立，必须且只需.解得 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http:
4、//www.sp910.com/)二、例题例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2 （配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解） 本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：①； ②； ③.解：化简的关键是把被开方数配方①＝＝＝＝2＋.②＝＝＝＝＝.③＝＝ ＝＝＝=2－.例3.求下列代数
5、式的最大或最小值： ① x2+5x+1； ② －2x2－6x+1.解：①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1＝（x+）2－.∵（x+）2≥0，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值－.②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-）教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)=－2(x2+2×x+－)＝－2（x+）2+∵－2（x+）2≤0，其中0是最大
6、值，∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.例1.解下列方程：①x4－x2+2xy+y2+1=0； ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组） (x2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”. 得 ∴或②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－
7、1)2＝0. （配方）∴ ∴例2.已知：a, b, c, d都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题）解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例3.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25
8、=25(添项)（x－4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴由得同理，共有12个解……教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)三、练习1.因式分解：①x4+x2y2+y4； ②x2-2xy+y2-6x+6y+9； ③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式：① （－＜x<）； ② (1
