数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01

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1、第一章实数集与函数习题§1实数1、设a为有理数，x为无理数。证明：（1）a+x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数。2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x（-1）>0；（2）

2、x-1

3、<

4、x-3

5、；（3）-≥。3、设a、bR。证明：若对任何正数有

6、a-b

7、<，则a=b。4、设x≠0，证明

8、x+

9、≥2，并说明其中等号何时成立。5、证明：对任何xR有（1）

10、x-1

11、+

12、x-2

13、≥1；（2）

14、x-1

15、+

16、x-2

17、+

18、x-3

19、≥2。6、设a、b、c（表示全体正实数的集合）。证明

20、-

21、≤

22、b-c

23、。你能说明此不等式的几何意义吗

24、？7、设x>0，b>0，a≠b。证明介于1与之间。8、设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则是无理数。9、设a、b为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）

25、x-a

26、<

27、x-b

28、；（2）

29、x-a

30、

31、-a

32、

33、1-x

34、-x≥0；（2）

35、x+

36、≤6；（3）（x-a）（x-b）（x-c）>0（a，b，c为常数，且a

37、3）式所确定的数集S有上界而无下界。4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x

38、<2}；（2）S={x

39、x=n！，n}；（3）S={x

40、x为（0，1）内的无理数}；（4）S={x

41、x=1-，n}。5、设S为非空有下界数集。证明：infS=S=minS。6、设S为非空数集，定义={x

42、-xS}。证明：8（1）inf=-supS；（2）sup=-infS。1、设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z

43、z=x+y，xA，yB}。证明：（1）sup（A+B）=supA+supB；（2）inf（A+B）=infA

44、+infB。2、设a>0，a≠1，x为有理数。证明sup{

45、r为有理数，r1，=inf{

46、r为有理数，r

47、in）。5、设函数f（x）=求：（1）f（-3），f（0），f（1）；（2）f（Δx）-f（0），f（-Δx）-f（0）（Δx>0）。6、设函数f（x）=，求f（2+x），f（2x），f（），f（f（x）），f（）。7、试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：（1）y=；（2）y=；（3）y=lg（1+）；（4）y=。8、在什么条件下，函数y=的反函数就是它本身？9、试作函数y=arcsin（sinx）的图象。10、试问下列等式是否成立：(1)tan（arctanx）=x，xR；(2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+

48、，k=0，±1，±2，…11、试问y=

49、x

50、是初等函数吗？812、证明关于函数y=[x]的如下不等式：（1）当x>0时，1-x

51、递减。4、判别下列函数的奇偶性：（1）f（x）=+-1；（2）f（x）=x+sinx；（3）f（x）=；（4）f（x）=lg（x+）。5、求下列函数的周期：（1）；（2）tan3x；（3）cos+2sin。6、设函数f定义在[-a，a]上，证明：（1）F（x）=f（x）+f（-x），x[-a，a]为偶函数；（2）G（x）=f（x）-f（-x），x[-a，a]为奇函数；（3）f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。7、设f、g为定义在D上的有界函数，满足f（x）≤g（x），xD。证明：（1）f（x）≤g（x）；（2）f（x）≤g（

52、x）。8、设f为定义在D上的有界函数，证明：（1）{-f（x）}=-f（x）；（2）f（x）=-f（x）。9、证明：tanx在（-，）上无界，而在（-，）内任一闭区间[a，b]上有界。10、讨论狄利克雷函数1，当x为有理数，D（x）=0，当x为无理数的有界性、单调性与周期性。