2014年苏北四市数学一模

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1、苏北四市数学试题数学Ⅰ必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．1．设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲．2．已知集合，，且，则实数的值是▲．3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为▲．开始结束输出SYN（第6题图）4．在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是▲．5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

2、▲．6．右图是一个算法流程图，则输出的值是▲．7．函数的定义域为▲．8．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为▲．9．在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲．10．已知函数，则不等式的解集为▲．11．已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为▲．12．设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为▲．13．在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为▲．14．在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为▲．·14·二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分

3、14分)已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．PABCFE（第16题图）·14·17．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装

4、饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？(第17题图)18．(本小题满分16分)·14·已知的三个顶点，，，其外接圆为⊙H．(1)若直线过点，且被⊙H截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求⊙C的半径的取值范围．19．(本小题满分16分)·14·已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的

5、切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）·14·已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．·14·21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．(第21(A)图)A．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线的垂线，垂足为，圆与

6、边相切于点．若，求的度数．B．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知均为正数,证明：．·14·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依

7、次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．·14·参考答案数学Ⅰ部分一、填空题：1．2．3．4．5．6．7．8．　9．10．11．12．13．14．二、解答题：15．（1）由可知，，所以，………………………

8、……2分所以．…………………………………………………