2016届江苏省苏北四市高三数学一模

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2016届江苏省苏北四市高三数学一模一、填空题（共14小题；共70分）1.已知集合A=0,a，B=0,1,3，若A∪B=0,1,2,3，则实数a的值为 ．2.已知复数z满足z2=−4，若z的虚部大于0，则z= ．3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50∽90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70 km/h以下的汽车有 辆．4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 ．S←1I←1WhileI<5 S←S+2End WhilePrint S5.函数fx=2sinωx+φφ>0的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为 ．6.若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ．7.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x216−y29=1渐近线的距离为 ．8.已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D−ABC的体积为 ．9.若公比不为1的等比数列an满足log2a1⋅a2⋯⋯a13=13，等差数列bn满足b7=a7，则b1+b2+⋯⋯+b13的值为 ．10.定义在R上的奇函数fx满足当x≥0时，fx=log22+x+a−1x+b（a，b为常数）．若f2=−1，则f−6的值为 ．11.已知OA=OB=2，且OA⋅OB=1．若点C满足OA+CB=1，则OC的取值范围是 ．第12页（共12页） 12.已知函数fx=2x+cosx,x≥0,xa−x,x<0,若关于x的不等式fx<π的解集为−∞,π2，则实数a的取值范围是 ．13.已知点A0,1，b1,0，Ct,0，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为 ．14.已知正数a，b，c满足b+c≥a，则bc+ca+b的最小值为 ．二、解答题（共12小题；共156分）15.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=35，tanA−B=−12．Ⅰ求tanB的值；Ⅱ若b=5求c．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：ⅠPB∥平面EACⅡ平面PAD⊥平面ABCD17.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45∘C方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数y=x+42x21≤x≤9模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为fx万元．题中所涉及长度单位均为百米．Ⅰ求fx的解析式；Ⅱ当x为多少时，总造价fx最低?并求出最低造价．18.已知各项均为正数的数列an的首项a1=1，Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn+1−an+1Sn+an−an+1=λanan+1λ≠0,n∈N*．Ⅰ若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；第12页（共12页） Ⅱ若λ=12，求Sn．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=12，左顶点为A−4,0，过点A作斜率为kk≠0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的kk≠0都有OP⊥EQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．Ⅲ若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．20.已知函数fx=ex13x3−2x2+a+4x−2a−4，其中a∈R，e为自然对数的底数．Ⅰ若函数fx的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；Ⅱ关于x的不等式fx<−43ex在−∞,2上恒成立，求a的取值范围；Ⅲ讨论函数fx极值点的个数．21.如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．22.已知矩阵A=12−14，求矩阵A的特征值和特征向量．23.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2−8ρsinθ−π3+13=0，已知A1,3π2，B3,3π2，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．24.设x，y均为正数，且x>y，求证：2x+1x2−2xy+y2≥2y+3．25.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足BP=λBB10≤λ≤1．第12页（共12页） Ⅰ若λ=13，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；Ⅱ若二面角P−A1C−B的正弦值为23，求λ的值．26.已知数列an满足an=3n−2，fn=1a1+1a2+⋯+1an，gn=fn2−fn−1，n∈N*．Ⅰ求证：g2>13；Ⅱ求证：当n≥3时，gn>13．第12页（共12页） 答案第一部分1.22.2i3.754.95.π36.137.358.245【解析】VD−ABC=VB−ACD=13×125×6=245.9.2610.4【解析】因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以f0=0，即1+b=0，又f2=−1，有2a+b=−1，所以a=0，b=−1，又f6=6a−3+b=−4，所以f−6=4．11.6−1,6+1【解析】因为OA⋅OB=1，所以OA与OB的夹角为π3，设Ox,y，A2,0，B22,62，Cx,y，由∣OA+CB∣=1，得322−x2+62−y2=1，记为⊙M，设x2+y2=r2，记为⊙C，当两圆外切时r=6−1，当两圆内切时r=6+1，所以r∈6−1,6+1．12.−2π,+∞【解析】因为函数y=2x+cosx是单调递增函数，又2×π2+cosπ2=π，当a>0时不等式fx<π的解集为−∞,π2成立；当a≤0时，满足不等式fx<π的解集为−∞,π2，有a2×a−a2<π，解得a∈−2π,0，所以满足题意a的取值范围是−2π,+∞．13.4【解析】由题可得直线AC的方程为y=−1tx+1，设Dx0,1−1tx0，由AD≤2BD，得x02+x02t2≤4x0−12+41−1tx02，整理得3x021+1t2−8x01+1t+8≥0，则关于x0的方程满足Δ=641+1t2−961+1t2≤0，解得t≥2+3或t<2−3，所以AD≤2BD恒成立最小正整数t的值为4．14.2−12第12页（共12页） 【解析】因为b+c≥a，所以2b+c≥a+b，又因为正数a，b，c，所以1a+b≥12b+c，所以bc+ca+b≥c2b+c+bc=12bc+1+122bc+1−12≥2−12.当2bc+12=2时，即bc=2−12且b+c=a时取等号，所以bc+ca+b得最小值为2−12.第二部分15.（1）在锐角三角形ABC中，由sinA=35，得cosA=1−sin2A=45，所以tanA=sinAcosA=34．由tanA−B=tanA−tanB1+tanA⋅tanB=−12，得tanB=2．      （2）在锐角三角形ABC中，由tanB=2，得sinB=255，cosB=55，所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=11525，由正弦定理bsinB=csinC，得c=bsinCsinB=112．16.（1）连接BD与AC相交于点O，连接OE．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC．      （2）因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．17.（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y=x+42x21≤x≤9，PM=x，所以点P坐标为x,x+42x2，直线OB的方程为x−y=0，则点P到直线x−y=0的距离为x−x−42x22=42x22=4x2,又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为fx=5x+40⋅4x2=5x+32x21≤x≤9．      （2）因为fx=5x+40⋅4x2=5x+32x2，第12页（共12页） 所以fʹx=51−64x3=5x3−64x3，令fʹx=0，得x=4，列表如下：x1,444,9fʹx−0+fx单调递减极小值单调递增所以当x=4时，函数fx有最小值，最小值为f4=54+3242=30．当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．18.（1）令n=1，得a2=21+λ．令n=2，得a2S3−a3S2+a2−a3=λa2a3，所以a3=2λ+4λ+12λ+1．由a22=a1a3，得21+λ2=2λ+4λ+12λ+1，因为λ≠0，所以λ=1．      （2）当λ=12时，anSn+1−an+1Sn+an−an+1=12anan+1，所以Sn+1an+1−Snan+1+1an+1−1an=12，即Sn+1+1an+1−Sn+1an=12，所以数列Sn+1an是以2为首项，公差为12的等差数列，所以Sn+1an=2+n−1⋅12，即Sn+1=n2+32an ⋯⋯①，当n≥2时，Sn−1+1=n2+22an−1 ⋯⋯②，①−②得，an=n+32an−n+22an−1，即n+1an=n+2an−1，所以ann+2=an−1n+1n≥2，所以ann+2是首项为13是常数列，所以an=13n+2．代入①得Sn=n2+32an−1=n2+5n6．19.（1）因为左顶点为A−4,0，所以a=4，又e=12，所以c=2．又因为b2=a2−c2=12，所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．      （2）直线l的方程为y=kx+4，由x216+y212=1,y=kx+4,消元得x216+kx+4212=1．第12页（共12页） 化简得x+44k2+3x+16k2−12=0,所以x1=−4，x2=−16k2+124k2+3，当x=−16k2+124k2+3时，y=k−16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，所以D−16k2+124k2+3,24k4k2+3．因为点P为AD的中点，所以P的坐标为−16k24k2+3,12k4k2+3，则kOP=−34kk≠0．直线l的方程为y=kx+4，令x=0，得E点坐标为0,4k，假设存在定点Qm,nm≠0，使得OP⊥EQ，则kOPkEQ=−1，即−34k⋅n−4km=−1恒成立，所以4m+12k−3n=0恒成立，所以4m+12=0,−3n=0,即m=−3,n=0,因此定点Q的坐标为−3,0．      （3）因为OM∥l，所以OM的方程可设为y=kx，由x216+y212=1,y=kx,得M点的横坐标为x=±434k2+3，由OM∥l，得AD+AEOM=xD−xA+xE−xAxM=xD−2xAxM=−16k2+124k2+3+8434k2+3=13⋅4k2+94k2+3=134k2+3+64k2+3≥22,当且仅当4k2+3=64k2+3即k=±32时取等号，所以当k=±32时，AD+AEOM的最小值为22．20.（1）由题意，fʹx=ex13x3−x2+ax−a，因为fx的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，所以fʹ0=1，解得a=−1．      （2）法一：由fx<−43ex，得ex13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43ex，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0第12页（共12页） 对任意x∈−∞,2恒成立，即6−3xa>x3−6x2+12x−8对任意x∈−∞,2恒成立，因为x<2，所以a>x3−6x2+12x+8−3x−2=−13x−22,记gx=−13x−22，因为gx在−∞,2上单调递增，且g2=0，所以a≥0，即a的取值范围是0,+∞．法二：由fx<−43ex，得ex13x3−2x2+a+4x−2a−4<−43ex，即x3−6x2+3a+12x−6a−8<0.在−∞,2上恒成立，因为x3−6x2+3a+12x−6a−8<0等价于x−2x2−4x+3a+4<0，①当a≥0时，x2−4x+3a+4=x−22+3a≥0恒成立，所以原不等式的解集为−∞,2，满足题意．②当a<0时，记gx=x2−4x+3a+4，有g2=3a<0，所以方程x2−4x+3a+4必有两个根x1，x2，且x1<20，y>0，x−y>0，第12页（共12页） 2x+1x2−2xy+y2−2y=2x−y+1x−y2=x−y+x−y+1x−y2≥33x−y21x−y2=3,所以2x+1x2−2xy+y2≥2y+3．25.（1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AC=1，AA1=2，则A0,0,0，B1,0,0，C0,1,0，A10,0,2，B11,0,2，P1,0,2λ．由λ=13得，CP=1,−1,23，A1B=1,0,−2，A1C=0,1,−2，设平面A1BC的法向量为n1=x1,y1,z1，由n1⋅A1B=0,n1⋅A1C=0,得x1−2z1=0,y1−2z1=0,不妨取z1=1，则x1=y1=2，从而平面A1BC的一个法向量为n1=2,2,1．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ=cosCP,n1=CP⋅n1CP⋅n1=2233,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为2233．      （2）设平面PA1C的法向量为n2=x2,y2,z2，A1P=1,0,2λ−2，由n2⋅A1C=0,n2⋅A1P=0,得y2−2z2=0,x2+2λ−2z2=0,不妨取z2=1，则x2=2−2λ，y2=2，所以平面PA1C的法向量为n2=2−2λ,2,1．则cosn1,n2=9−4λ34λ2−+98λ,又因为二面角P−A1C−B的正弦值为23，所以9−4λ34λ2−8λ+9=53，化简得λ2+8λ−9=0，解得λ=1或λ=−9（舍去），故λ的值为1．26.（1）由题意知，an=3n−2，gn=1an+1an+1+1an+2+⋯+1an2当n=2时，g2=1a2+1a3+1a4=14+17+110=69140>13．      （2）用数学归纳法加以证明：①当n=3时，第12页（共12页） g3=1a3+1a4+1a5+⋯+1a9=17+110+113+116+119+122+125=17+110+113+116+119+122+125>18+116+116+116+132+132+132=18+316+332>18+316+116>13,所以当n=3时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即gk>13，则n=k+1时，gk+1=gk+1ak2+1+1ak2+2+⋯+1ak+12−1ak>13+1ak2+1+1ak2+2+⋯+1ak+12−1ak>13+2k+13k+12−2−13k−2=13+2k+13k−2−3k+12−23k+12−23k−2=13+3k2−7k−33k+12−23k−2,由k≥3，可知3k2−7k−3>0，即gk+1>13．所以当n=k+1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，gn>13．第12页（共12页）