第一章_生存分布与生命表

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1、第一章生存分布与生命表第一节引言（简单模型）一、生存状况与生存模型例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生存保险，保额为10000元。也就是说，如果他活到40岁，将得到10000元的保险金；如果他在10年内死亡，保险公司不会有任何给付。二、新生婴儿的未来生存时间一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间)可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。6/17/20211第一节引言（简单模型）符号(x)表示x岁的生命；用X表示(x)死亡时的年龄，显然，X也是一个随机变量记X的分布函数为FX(x)FX(x)=P

2、r(X≤x)x≥0显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡概率。死亡概率对应，定义函数SX(x)为：1-FX(x)=Pr(X>x)x≥0{X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x岁仍然活着的概率称其为生存函数,简记为S(x)6/17/20212F(x)的概念及其分布函数可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然，(x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T

3、(x)不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未来生命时间长度随机变量。6/17/20213引言例1-1假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为求：（1）该地区人群的生存函数；（2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。解（1）当0x)=1-F(x)=...=6/17/20214（2）Pr(70x）岁仍然生存的概率为：-6/17/20215其在y岁之前死亡的概率为：或者6/17/20216引言精算学里，通常用符号p、q

4、来表示生存和死亡的概率表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。6/17/20217特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t省略不写qx=Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1)px=Pr[(x)将活到年龄x+1]=Pr(T(x)>1)另外，用t

5、来表示延期t（年）。因此，对于(x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可以用t

6、uqx来表示，即6/17/202186/17/20219将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即K(x)=[T(x)]。令S(x)=T(x)-

7、K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长度随机变量有Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)

8、6/17/202112概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡的概率。死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关系或称为瞬间死亡率，死亡密度6/17/202113由上式，可以得到6/17/202114因为所以于是6/17/2021156/17/202116作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系分布函数F(x)密度函数f(x)生存函数S(x)死力F(x)f(x)S(x)6/17/202117第二节生命表对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函数作为其分布函数（或密度函数）

9、几乎是不可能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和T(x)近似特征的方法。生命表函数与生存函数6/17/202118生命表函数生存人数死亡人数生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）平均余命，记作平均生存函数考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存情况由生存函数给出。6/17/202119令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来记这些人，则有6/17/

10、202120因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)，所以有6/17/2021216/17/2021226/17/202123下面讨论几个概念的关系：6/17/202124生命表举例，看书6/17/2021256/17/202126对于表1-2，我们将其看成是一群生命