绝热近似及berry相

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1、绝热近似及Berry相引言Maxwell建立电磁场理论以来，物质的相互作用是接触作用。由场传递的点作用，人们相信这是描述自然现象的唯一作用形式。与点相互作用密切联系的数学形式是微分形式，物质的运动由某一时空点，传递到邻近的时空点，一直到某特定的有限远或无限远处的“边界”。运动的微分方程联系着邻近的点，从可能存在的解，边界条件选出特定的、物理需要的解。这种点接触的作用于和传递通常叫做定域的作用或定域的描述。百余年来，人们对自然现象的了解深深根植于这种观念，甚至以为这是唯一的描述。1959年理论上预测的Ａ-B效应及1986年令人信

2、服的实验证明，存在一种新的物理描述——整体描述或拓补描述。整体描述是对物理世界的微分描述的必要补充，它们构成了对物理世界更为完美的图景。1983年，M·Berry发现了绝热过程中量子力学波函数存在有一不可积的相位因子（与路径有关，对历史的记忆），它是几何性的，不同于通常的动力学相位。所谓的几何性是指它依赖系统环境的参数空间的路径，而不依赖环境参数随时间的变化速率和系统的动力学参数。B·Simorc对这一相位做出数学解释——物理系统的参数空间中纤维丛上的异和乐（anholonomy）（不可积性）。因而人们发现原来在十分简单的量子

3、物理系统中，存在着拓补性质。拓补性或整体性是量子力学波函数相位的一项根本性质。Berry几何相因子，在最近十五年里，已成为量子力学发展最重要的方面之一，其基本观念几乎渗透到物理学的各个领域<1-2>。Berry几何相因子的提出与量子绝热过程的研究是密不可分的。大家知道，哈密顿量与时间无关的量子系统若开始处在一个定态（时间无关的哈密顿量的本征态）上，则在以后的演化中，它会始终处在这个定态上。末态与初态的唯一差别，是末态增加了一个只与能量相关的动力学相因子。如果哈密顿量依赖于时间，体系通常不会再保持在初始时刻的本征态上。哈密顿量随

4、时间的改变，会激发不同瞬时能级间的跃迁。然而，与系统内禀演化相比，如果哈密顿量的改变足够缓慢，或称体系是绝热（adiabatic）变化的，类似于定态演化的特征会得以保持，量子绝热定理对此给出了定量的描述：设H(t)是体系随时间改变的哈密顿量。若t=0时，体系处在H(0)的本征函数｜n(0)>上，当H(t)的变化足够缓慢时，在任一时刻t，体系仍将处在瞬时哈密顿量H(t)的本征态｜n(t)>上。量子绝热定理本身并未直接指出在t时刻系统的状态｜(t)>是什么，只是说

5、(t)>

6、n(t)>。但是，在证明量子绝热定理过程中，人们只给出了

7、仅仅符合人们直觉的推论<3-5>：

8、(t)>～

9、n(t)>=

10、n(t)>(1)第5页共5页其中是H(t)在t时刻的瞬时本征值。这与时间无关系统的定态演化是一致的；当H(t)不依赖于时间｜(t)=exp[-i]n>。然而在1984年，英国Bristol大学Berry指出<6>，方程（1）所表达的物理不尽正确。在很多情况下，方程（1）中除了动力学相因子D(t)=exp[-i],(2)还应有一个附加的相位，(3)这就是Berry几何相位因子。但也有人认为这只是普通的相位，（3）式并非是1984年Berry的发现。Berry相位是不可

11、积的（non-integrable）相位，这点在Berry原创论文中已经强调过。这种相位是依赖路径的，也就是说不只依赖初态和末态，也依赖于一切中间态。如果路径是在参数空间，就依赖于参数空间参数变化的曲线，对于循环过程这曲线是闭合的路径Ｃ。呈现Berry相位的系统的哈密顿依赖时间的变化是绝热的，又是巡回的（cyclic），即经过一段时间，H(t)从H(0)变到H(T)，而且H(0)=H(T)。Berry相位是对这一环路积分的结果：这才是Berry相。这时　　　　　(4)事实上，早在Berry工作之前，人们已经知道这个相因子的存在

12、，但是人们由于对波函数的单值性尚未有深入的认识而忽略了它的物理效应。一个典型论证可以在席夫的教科书<3>中找到。他们认为既然本征方程H(t)

13、n(t)=E(t)

14、n(t)>(5)确定的本征函数可以相差一个相位因子，即(6)仍然是方程（5）的解（这里，形式上是时间的任意函数），那么适当地选取，会使＝，对应的几何相位第5页共5页。从这个表面上的意义讲，几何相因子是由于本征函数相位选择的不确定性造成的，人们完全可以重新选择相位加以消除<3>。然而在许多情况下，我们并不能任意选择本征函数的相位。哈密顿量H(t)=H[(t)]通常是通过

15、一组参数依赖于时间的，Ｈ对是单值的。因而，也是参数的单值函数，但是相位重新选择会改变本征函数的单值性，这是量子力学所不允许的。事实上，在张成的参数空间Ｍ中，可重新表达为Ｍ中的路线积分：，（7）其中是Ｍ中的梯度算子，因此，几何相因子不是Ｒ的单函数，而是一个依赖于路径的（不可积）