开关电路与布尔代数

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1、开关电路与布尔代数张怡慈对比世界各国的教材，我国的代数教材还是最窄的。开设这门课的必要性和可能性是什么？为什么放在选3中，是为了不仅仅让理工科学生选修。二十世纪初，许多方法都是构造性的。很多数学家都反对反证法。取消了很多的内容。很多内容当初都被认为非常荒谬的，现在都被再次应用。我们希望学生对变换的思想等教能够有所了解。这些课开设的原则：第一，是数学中最基本的内容。是中学生能够接受的。第二，开设这门课不是科普讲座，是想学生真正有所收获。实验的步子有可能比较大，但是对教师来讲，并不要求每个教师都能够讲出来，可以开一

2、两门到开三四门，并不要求每个人都能开16个专题。对学生来说，也并不要求每个都掌握，选修4，只学两个模块就可以了。对学校来讲，并不要求把每个专题都开设。有些是老师在上大学时没有学过的，可以在后续的学习中补充知识这我个人以前也没有学过群、布尔代数，对一些数学家来说，在中学如何提高自己的数学素养，掌握这样一些内容可能是比较必要的。通过这些内容的学习对教师的科研有一定积极的作用。我们课程不是大学课程的下放和压缩。课程的设计，在高一可以给学生开设，16个专题的课程是以初中知识为基础的。有些没有学过的知识会在专题的后面附上

3、了相关补充知识的介绍。本专题是18个学时。通过今天的介绍想说明，这样的内容用16个学时是否可以给中学生讲授。目录第一章开关电路开关电路（2）开关电路的数学表示（3）第二章布尔代数1．布尔代数（2）2．布尔代数模型—集合运算模型（1）3．布尔代数模型—命题运算模型（1）4．运算的比较（1）第三章布尔函数布尔多项式及其化简（2）布尔函数（2）第四章应用—开关电路设计开关电路设计（一）（1）开关电路设计（二）（1）串联开关　开关的断和通造成整个电路的通和不通。在数学上习惯用数来表示状态，用1表示通。0表示不通。对串联

4、来说，这样一种关系与乘法是类似的。因此可以用乘法来表示串联。并联：只要有一个通，整个电路就是通的。这种运算与乘法不同，与加法也不同。引进一个新的运算，也叫做加法。并给一个定义。逆反开关电路：引进一个新的运算即：加法：０＋０＝０，０＋１＝１＋０＝１，１＋１＝１；乘法：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1；逆：０‘＝１，１‘＝０。构成一个重要的数学模型。我们称其为0-1布尔代数，记为{{0，1}；+，·，′}。相同点和不同点{0，1}上的布尔加法、乘法运算与实数R上的加法、乘法运算有相同的性质，这些相同的

5、性质主要有：（1）{0，1}上的布尔加法运算与实数R上的加法运算都满足结合律、交换律；（2）{0，1}上的布尔乘法运算与实数R上的乘法运算都满足结合律、交换律；（3）{0，1}上的布尔加法、乘法运算与实数R上的加法、乘法运算都满足乘法对加法的分配律。（4）它们的加法运算都有0元。在布尔代数中一个最基本的性质是：1+x=1，称之为0－1律，这是与实数运算最不同的性质。由这一条性质和布尔代数的其他性质，可以验证以下性质：加法对乘法的分配律：x+yz=(x+y)(x+z)吸收律：x+xy=x，x(x+y)=x幂等律：

6、x+x=x，x·x=x但实数R上的加法、乘法运算不满足加法对乘法的分配律、吸收律、幂等律。实数R上的运算的有些性质{0，1}上的布尔运算不满足。如，对于任意a∈R，有－a∈R，使得a+(－a)=0，即R中每一个数都有它的相反数。由于0－1律，所以{0，1}上的布尔加法运算不满足上面的性质。l在布尔代数中，有一种特殊的运算——求逆。在实数中不具有这种运算。布尔代数具有以下性质：l(x+y)’=x’y’;l(xy)’=x’+y’.l通常称之为德莫根公式。这些不同点在电路设计、布尔多项式、布尔函数中发挥作用。例如，一

7、元布尔多项式没有高次项。举例说，xy+z表示先串联，后并联。我们发现，实际上，学命题，真假命题，“或、且、非”不仅仅是开关电路，也是命题演算的模型。给了布尔代数的运算，下面讲一下布尔函数。介绍两个问题：（1）多项式的函数形式（2）如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式布尔函数是定义域是（0、1）的函数。我们把布尔代数中的变量x，y，z，…以及常量0，1用三种布尔运算+，·，′联结起来的式子称为布尔多项式。布尔多项式的化简需要运用布尔代数的运算规律。在化简布尔多项式时，我们约定“先乘后加，略去乘号”，并随时运用布

8、尔代数的运算律。通常，我们把布尔多项式化成乘积的和的形式。但乘积的和的形式不一定是最简形式，有时，还需要运用布尔代数的运算律进一步化简，直到变元加项数尽可能少。布尔函数或者布尔多项式用列表法表示出来，如果反过来知道表格是否可能造出一个多项式。拉格朗日插值法先求出每一点的特征函数。要想在某一点得1，其它点得0，可以这样找：l第一步，构造特征函数我们构造函数，那么该函数满足当得当x=x1时