全国通用版版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第讲正弦定理和余弦定理优选学案

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1、第21讲　正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2017·全国卷Ⅰ，112017·山东卷，172017·天津卷，152017·浙江卷，14正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值：5～12分1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝__＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝__b2＋c2－2bccos_A__，b2＝__a2＋c2－2accos_B__，13c2＝__a2＋b2－2abcos_C__变形形式a＝_

2、_2Rsin_A__，b＝__2Rsin_B__，c＝__2Rsin_C__，sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____，a∶b∶c＝__sinA∶sinB∶sinC__，asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA，＝2RcosA＝____，cosB＝____，cosC＝____2．在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式aba≤b解的个数__无解____一解____两解____一解____一解____

3、无解__3．三角形常用的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　√　)(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等．(　×　)13(3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理．(　√　)(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)(5)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B．(　√　)解析　(1)正确．由正弦定理

4、和余弦定理的证明过程可知，它们对任意三角形都成立．(2)错误．由正弦定理可知该结论错误．(3)正确．由余弦定理可知该结论正确．(4)错误．当已知三个角时不能求三边．(5)正确．由正弦定理知sinA＝，sinB＝，由sinA>sinB得a>b，即A>B．2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　B　)A．4　　B．2　　C．　　D．解析　由正弦定理得＝，即＝，所以AC＝×＝2.3．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则∠A＝(　C　)A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．75°解析　∵cosA＝＝＝，且0

5、°

6、六个边长为1的正三角形组成，所以正六边形的面积S6＝6××1×＝.一　利用正、余弦定理解三角形(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【例1】(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．解析　(1)由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)

7、及余弦定理，得cosA＝＝＝－.(2)由(1)知，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝.由(1)知A为钝角，所以cosB＝＝.于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.二　利用正、余弦定理判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转

8、化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋13B＋C＝π这个结论．注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应