第八讲简单的数阵图答案

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1、思维拷贝：1、由于横行和竖列的和都是10，所以，可求出横行和竖列的总和是：10×2=20，中央的数是公共的，重复加了一次，可用六个数的总和20减去5个数的总和，得到中央重复加的数是：10×2-(l+2+3+4+5)=5，又因为2+3=5=1+4从而解是2、因为两个正方形各自顶点上的数的和都等于22，所以可得两个正方形的总和是22×2=44，两个正方形公共顶点处的两个数有重复加一次，可用两个正方形的总和减去要填的六个数的总和，即得到两个正方形公共顶点处的两个数的和是：22×2—(1+3＋5+7+9+11)=8，又22－11－8=3，所以11与3是一个正方形的两个顶点(不是公共顶

2、点)处的数.从而解是：3、1—7这七个数的总和是：1+2+3+4+5+6+7=28，因为要把这七个数放在两个相连的正方形中，把图形分成了2份，则两个正方形的总和要能被2整除，是偶数，七个数的总和28也是偶数，根据偶数+偶数=偶数的原理，可得出两个正方形中间公共的数一定是偶数。则有以下三种情况：（1）如果两个正方形公共顶点处的数是2,那么每个正方形其他三个顶点处的数，和是(28-2)÷2=13.由7+5+1=13=6+4+3，得图（1).（2）如果公共顶点处的数是4，那么每个正方形其他三个顶点处的数，和是（28-4）÷2=12.由7+3+2=12=6+5+1得图(2).（3）如

3、果公共顶点处的数是6，那么每个正方形其他三个顶点处的数，和是（28-6）÷2=11.由7+3+1=11=5+4+2得图（3).公共顶点处的数不可能为奇数.所以只有上述3个解.4、1—9九个数的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，横行和竖列5个数的和都是24，可求出横行和竖列10个数的总和是24×2=48，横行和竖列10个数的总和重复加了中央公共的数，可用10个数的总和减去要填的9个数的总和，可得到中央公共的数是：24×2-45=3,横行和竖列另外四个数的总和是：24-3=21，由1+4+7+9=21=2+5+6+8,1+5+6+9=21=2+4+7+8得图（1)

4、、（2).5、每条线上3个数的和都是12，可求出两条横行上6个数的和是2×12=24.而要填的8个数的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8=36.所以剩下竖行中间两个数的和是：36-2×12=12.同样，两行竖行上6个数的和是：2×12=24.8个数的总和减去6个数的总和，可求出剩下横行中间两个数的和也是12。又4+8=5+7=12.6、先算出6个数的总和是：1+2+3+4+5+6=21，由于中间的三个数要重复加一次，所以可设中间的另外两个数是：a和b,可知三条线上9个数的总和是：21+1+a+b=22+a+b，三条线上的三个数的和相等，即把图形分成了3等份，则9个数的总和

5、（22+a+b）是3的倍数，因为要填的数中最大的两个数的和是：5+6=11，即22+a+b=33是最大的总和，则22+a+b=24，27，30，33。可算出a+b=2，5，8，11，根据要填的数2，3，4，5，6可得2+3=5，5+3=8所以a+b=5时，a=2,b=3或a=3,b=2,a+b=8时，a=5,b=3或a=3,b=5如图：思维拓展：1、如果6不在三角形的顶点，那么如图（1)，应有l+a=6+b,但1+a至多是1+5=6，上面的等式不可能成立.所以6—定是三角形的顶点.对每个合乎要求的填法，用7减圈中的每一个数，6变为1,本题的解变成上题的解.反过来，用7减上题解

6、中每一个数得到本题的解(2)、(3)、(4)、（5).2、先来确定中心的数。设这个数为a，则4条线上12个数（中心的数出现4次，其余的数各出现一次）的和1＋2＋…＋9＋a＋a＋a因为要使每条线上三个数的和相等，即把数阵图分成了4等份，则4等份的总和应是4的倍数，即45＋3×a是4的倍数。所以a只可能是1，5，9.（1）当a＝1时，2与9，4与7，8与3，5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可。（2）当a＝5时，1与9，2与8，3与7，4与6搭配。（3）当a＝9时，1与8，2与7，3与6，4与5搭配。这样得到如下图所示的三个解：3、由a+b=a+c，得b=c，由b+a=b+d

7、，得a=d，再由a+d=b+c，得a=b，所以a=b=c=d。这表明二阶幻方不存在，要满足幻方要求，必须4个数是同一个数。4、1—12的和为（1+12)×12÷2=78,每边上4个数的和是（78+1+3+4)÷4=22，所以4条边上中间两数的和分别是22-1－2=19，22－1－3=18,22－2－4=16,22－3－4=15。从而可得下面的图。解不唯一思维创新：1、1、3之间的数比3、5之间的数大5－1=4,所以1，3之间的数是10。3，5之间的数是6。1，4之间的数比10少4－3=1，因而是9，同理