ch6 最佳(mmse)滤波

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1、最佳(MMSE)线性滤波最小均方误差估计线性预测MMSE滤波器设计随机信号作为滤波器的输入(p.107-111)传统滤波器:低通,高通,带通,带阻对信号的不同频率分量进行取舍传统滤波器在很多应用场合不符合实际需要例子：信道均衡器设计通过对接收信号的线性组合，从x恢复出y更一般化的信号估计问题：基于接收信号，构造一定结构的估计器，从中恢复出期望的信号（又称信号估计问题）。例子：信道均衡器设计输入H(z)输出噪声通过对接收信号不同时刻的线性组合，从x恢复出y信道模型：滤波器设计的步骤：确定估计器的实现结构：IIR，FIR预先假

2、设信号的统计特性（输入，噪声等）：独立同分布输入确定性能准则（目标函数），及其参数确定优化方法：估计器系数的求解最小均方误差准则期望信号估计信号实现最佳滤波的常用准则：最小均方误差线性估计：导致简单的滤波器求解算法易于进行性能分析线性均方误差估计一般化问题模型期望信号观测信号待估计参数时间下标不同参数，不同观测信号对非时变系统注意和书(6.2.1)-(6.2.4)的比较共轭转置误差性能函数期望信号平均功率观测信号和期望信号的互相关观测信号的相关矩阵滤波器系数求解原则：矢量函数的求导常用求导公式与6.2.11一致正交性原理随

3、机矢量的内积定义为正交：内积等于0对于最小均方误差估计，当实现最佳估计时正交性原理：当实现最佳估计时，估计误差与所采用的观测信号正交可以证明，正交性原理和最小均方误差是等价的MMSE参数估计主要结论仅依赖于期望信号和输入数据性能曲面是滤波器参数的二次函数，函数曲面是凸曲面，且存在唯一全局最小点，在偏离最佳估计系数时，所造成的超量误差只决定于输入数据的相关矩阵。正交性原理提供滤波器参数估计的直观解释和参数估计途径滤波器参数也可由相关矩阵的特征值和特征向量计算得到。平稳过程的最佳有限冲激响应滤波考虑一般线性最优估计问题中只有一

4、路观测信号，利用信号不同时刻值的线性组合实现信号估计，考虑非时变问题基于最小均方准则，可以得到平稳过程的最佳有限冲激响应滤波－频率域解释基于正交性原理维纳－霍夫方程两边取傅立叶变换从上式求解不一定能得到FIR因果滤波器更适应于求解IIR非因果滤波器线性预测前向预测：利用某一时刻以前p时刻的数据的线性组合来预测该时刻的值。不同表现形式预测误差定义为：预测均方误差定义为：和AR模型的YW方程是一致的。预测误差和观测值相互正交，是最佳线性预测的充要条件线性预测与AR模型的关系假设信号是一个p阶AR模型，对其应用一个p阶预测器，得

5、到预测误差为：即预测误差是白噪声，预测过程又称白化(whiten)AR模型白化滤波线性预测后向预测：利用某一时刻以后p时刻的数据的线性组合来预测该时刻的值。预测误差定义为：预测均方误差定义为：后向预测的维纳-霍夫方程前向预测与后向预测的关系前向预测维纳－霍夫方程（二阶预测为例）相关矩阵按行逆序再按列逆序后向预测方程:结论:对复信号,有类似结论:线性预测的基本性质对平稳信号,前向预测算子是最小相位的,后向预测算子是最大相位线性预测系数可由自相关矩阵的特征矢量和特征值求解.预测误差可由相关矩阵的行列式求解。线性预测应用例子：信

6、道均衡信道模型均衡器输出:线性预测应用例子：信道均衡可以证明,延时为m的线性预测,当预测长度足够长是,预测误差为规则方程输入信号为零均值,独立同分布信号信道传输矩阵第m列考虑两个不同延时的预测器,有IIR滤波器的维纳-霍夫方程平稳过程的最佳无限冲激响应滤波正交性原理最小均方误差非因果维纳滤波器双边z变换：单位圆外存在零点不一定是因果系统，物理不可实现平稳过程的最佳无限冲激响应滤波因果IIR维纳滤波器要求:H(n)为单边序列（右边序列），极点在单位圆内平稳过程的最佳无限冲激响应滤波维纳-霍夫方程一种简单情况:滤波器输入为白噪

7、声求单边z变换平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波维纳-霍夫方程白化滤波器白噪声H(z)是可逆的最小相位系统,w(n)可以看成是随机信号下x(n)的更新当x(n)是规则过程时,白化滤波器一定存在同样信息一般情况:先设计一个滤波器将输入信号白化平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波)(nx)(ny)(1zG)(zQ)(nw谱因式分解：零极点在单位圆内零极点在单位圆外G(z)的求解最小相位Q(z)的求解双边z变换最佳IIR滤波的应用例子:降噪有用信号零均值,与y(n)不相关非因果滤波器:因果滤波器:p.284