中心极限定理在bernoulli场合中的应用

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1、中心极限定理在Bernoulli场合中的应用中心极限定理在Bernoulli场合中的应用胡卿叶∽(1.山西大学数学科学学院,山西太原030006;2.山西农业大学文理学院,山西太谷030801)摘要:介绍中心极限定理在Bernoulli场合中的理论,着重论述其在Bernoulli场合中的应用,从而体现中心极限定理的解题优势.关键词:中心极限定理;随机变量;应用;概率中图分类号:O211.4文献标识码:A文章编号:1008—8881(2008)02—0156—02在客观世界中,许多随机现象都服从或近似服从正态分布.正态分布在随机

2、变量中为什么占有特殊的地位?在长达两个世纪的时间内,经过许多科学家的研究,建立了众多中心极限定理,指出了大量相互独立的随机变量之和在适当的条件下近似服从正态分布,揭示了为什么许多随机现象中的量都近似服从正态分布问题.下面,就Bernoulli中心极限定理的作用进行探讨.一,Bernoulli中心极限定理我们都知道,在Bernoulli场合下服从中心极限定理的条件是:设}为相互独立同分布的随机变量序列,且满足P(=1),P(=1),(1,2,A)则}服从中心极限定级里对任意实数有p1<l=击f【/J如果设是n次Berno

3、ulli试验中A事件出现的次数,即一B(n,P),则上式可以表达为:对任意实数a,b当n一∞时有…limP(n<)=击丁出㈩其实,公式(1)的证明很简单.我们曾看到,若表示n重Bernoulli试验中成功A事件的发生次数,则～B(n,P).其中,p=p(A).若令f1第次试验A发生5I,i—l0第次试验A不发生其中k=l,2,3,A,n,则可知.,X2AA相对独立服从(0—1)分布且=∑而=p,=Pg,(=1,2,A)i=又定理知}服从中心极限定理,从而l…im()limllmP--llmPVnpql—=J—』r'∑一

4、~,Exk:,/骞:一j—fedz,/27r由于一B(n,P),当n较大时,/z在(n,b)内取值的概率就可以用下面公式进行近似计算:小=cP)一):去二,Bernoulli中心极限定理的应用当试验次数n很大时,可以用来表示替代事件A的概率.因为时n次独立试验中事件A发生的次数,则～B(n,p),其中p=p(A),从而由定理知三近似服Vnpq从正态分布N(O,1)(当n较大时),故有:p一pl<)(一s,/暑<<s,/暑),/)一(一s,/暑)=,/暑)一(2)我们可以利用及限定理导出的公式(2)来解决三类问

5、题:1,求概率已知求P({一p{).例:假定某电视台节目在S市的收视率为15%,在一次收视率调查中,从s市的居民中随机抽取5000户,并以收视频率作为收视率,试求两者之间小于1%的概率.解:这个抽样调查中的重要问题用Bernoulli概率作为数学模型是很自然的,所求的是l一Pl<0.01发生的概率(其中n=5000,p=0.15,为5000户中收视节目的户数).由公式(2)可得p一pI<s)2(0.01)一一2(b(1.98)一1=2×0.97615—1=0.95232.确定试验次数n要使频率与概率P的差异并不大于

6、定数s的概率,不小于预先给定口,问至少要做多少次实验?这时亦需要求满足上式的最小的n.例:电视台作某节目A收视率的调查,在每天节目A播出时,随机地向当地居民打电话问是否看电视,如在看电视,再问是否在看A节目.设回答问题在看电视居民数为n,问为保证以95%的概率使调查误差在1%以内,n应取多大?解:设,,为回答看电视的居民在看节目A的人数,要估计收视率设为p,要求n,使P(f一pf<0.1)=0.95略作变换可得:5=ppf<0.1I)p)其中是服从标准正态分布N(0,1)的随机变量,查表可得—>1.96或n&

7、gt;1.96PqlO,/pq现在问题是如何确定p,q.定义h(p)=p(1-P).则其导数为(p):1—2p,令(p)=l-2p=0,得p:易证当p:时有(p)=11=1,这时(p)达到最大值,即意味着1.962pq1.961:96.04,所以n>96.04取n=97就足够了.举例:同样在上例中,为使该节目收视频率与收视率之差小于1%的概率达到99%,至少要抽取多少户?解:由公式得:咖(s,/)=旦2问题相当于已知￡=0.01,p=0.15及/3=0.99求n,即咖(0?01,/)=0?995,查正态分布表咖(zn)=

8、1一n,0?01,/丽-zn:2?58n=258×0.15×0.85=8487.3,估计频率与概率的误差已知n及口求s,即估计频率与概率的误差.解题思想如下:先找,使2币()一1.这时s=即,/即为所求.若p不知道,则利用pd}有下列估计式s—兰2Vn例:设在某种独立重复的试