高三数学基础突破复习检测2

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1、1．不等式

2、x－1

3、－

4、x－5

5、<2的解集是(　　)A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)答案　A解析　当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.2．若不等式

6、2x－1

7、＋

8、x

9、＋2

10、≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　解析　设y＝

11、2x－1

12、＋

13、x＋2

14、＝可得最小值为，根据条件可得a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.3．若关于x的不等式

15、ax－2

16、<3的解集为，则a＝________.答案　－3解析　由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程

17、ax－2

18、＝3的根，即，解得a＝－3.4.已知函数f(x)＝

19、x＋1

20、－2

21、x－a

22、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值

23、范围．解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为

24、x＋1

25、－2

26、x－1

27、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．5．已知关于x的不等式

28、x＋a

29、

30、2<

31、x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解　(1)由

32、x＋a

33、0，b>0，c>0，函数f(x)＝

34、x＋a

35、＋

36、x－b

37、＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)因为f(x)＝

38、x＋a

39、＋

40、x－b

41、＋c≥

42、(x＋a)－(x－b)

43、＋c＝

44、a＋b

45、＋c.当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以

46、a＋b

47、＝a＋b，所以f

48、(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.7．解不等式x＋

49、2x＋3

50、≥2.解　原不等式可化为或解得x≤－5或x≥－.综上，原不等式的解集是.8.设函数f(x)＝＋

51、x－a

52、(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解　(1)证明：∵a>0，∴f(x)＝＋

53、x－a

54、≥－(x－a

55、)＝＋a＝a＋≥2＝2.当且仅当a＝1时取等号，∴f(x)≥2.(2)∵f(3)<5，∴＋

56、a－3

57、<5，即＋3＋

58、a－3

59、<5，∴－20，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解　(1)由＝＋≥，得ab≥2，当a＝b＝时，“＝”成立．故a3＋b3≥2≥4，当a＝b＝时，“＝”成立．∴a3＋b3的最小值为4.(2)2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.10．设函数f(x)＝2

60、x－

61、1

62、＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋xf2(x)≤.解　(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤，∴1≤x≤.当x<1时，由f(x)＝1－x≤1，得x≥0，∴0≤x<1.∴f(x)≤1的解集为M＝.(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得162≤4，∴－≤x≤.∴N＝，∴M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，∴x2f(x)＋xf2(x)＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x

63、(1－x)＝－2≤.故要证的不等式成立．