自考线性代数(经管类)重点总结与串讲及考点突破

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1、线性代数（经管类）重点总结行列式41、1.1.1二阶行列式：42、三阶行列式43、定理1.2.1：44、三角形行列式：45、行列式的性质：56、范德蒙二阶行列式57、范德蒙三阶行列式58、行列式解法总结69、定理1.4.1：610、定理1.4.2（克拉默Cramer法则）（前提条件：未知数个数和方程个数相等）：611、定理1.4.3：6矩阵（矩阵不能做分母，只有方阵才可以取行列式）71、各种类型的矩阵72、矩阵的同型83、矩阵的加减法84、矩阵的数乘运算85、矩阵的乘法96、方阵的幂97、矩阵的转置108、对称阵和反对称阵109、方阵的行列式（只有方阵

2、才可以取行列式）1010、方阵多项式1011、方阵的逆矩阵（充分必要条件是只有方阵才有可逆矩阵，可逆矩阵是惟一的，是数的倒数的推广）1112、分块矩阵（表示法：（Aij）r×s）1213、矩阵的初等变换（包括行、列的变换）（求解线性方程组，只能行变换，不能列变换）1414、初等方阵（初等方阵都是可逆阵）1515、用初等变换法求逆矩阵1616、用初等变换法求解矩阵方程1617、矩阵的秩（用初等行、列变换将矩阵化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。）16向量空间181、n维向量的概念182、n维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统

3、称）（与矩阵的运算性质完全一样）183、向量的线性组合194、线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组是否有非零解，有非零解即线性相关）195、极大无关组206、向量组的秩217、向量空间23线性方程组（齐次方程组必有0解，而非齐次方程组未必有解）25齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：25齐次线性方程组解的性质：25齐次线性方程组AX=0的基础解系：（非常重要）25求方程组的基础解系、通解的步骤：26非齐次线性方程组有解的充要条件27非齐次线性方程组解的性质28非齐次方程组AX＝β的通解的结构29求非齐次线性方程组通解的方法29特征值与特

4、征向量（只有方阵才有特征值和特征向量）29定义和充分必要条件（Ap=λp，其中P为非零的n维列向量，充要条件）29关于特征值和特征向量的若干结论：30求特征值和特征向量的一般方法32相似矩阵的定义则A～B（其中P为可逆阵）33相似矩阵的性质：34方阵与对角阵相似（对角阵，其中P必须可逆，且P称为变换矩阵）（n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。）（对角阵的转置仍是对角阵）34判断是否与对角阵相似、求变换矩阵P、求相似标准形Λ的方法：35向量内积的定义（α与β的的内积（α,β）是一个实数，所以内积也称数量积。）36向量内积的性

5、质37向量的长度的定义37向量的长度的性质37向量的单位化（把一个向量单位化为单位向量）37向量的正交（若（α,β）=0，则称向量α与β正交，记为α⊥β）38正交向量组（不含零向量，且任意两个向量都正交（两两正交））38标准正交向量组（正交向量组中的每一个向量都是单位向量）38施密特正交化手续（将一个线性无关向量组，转化成与它等价的正交向量组）（掌握）38正交矩阵的定义（充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组，即：所有向量两两正交，每一个向量都是单位向量。）39正交矩阵的性质（都是正交阵，正交阵必有相同的特征值。）39判断矩阵是否为正交矩阵（

6、看是否：矩阵中所有向量两两正交，每一个向量都是单位向量）40正交相似（其中P为正交阵，称A为B的正交相似标准形）40实对称矩阵的性质（实对称阵又称对称阵）（实对称阵一定正交相似于对角阵）40求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形41实二次型与矩阵合同43实二次型及其矩阵43二次型的标准形（只含平方项，不含交叉项的二次型）44用正交变换化二次型成标准形（x=Py(其中P是正交阵)，使）44用正交变换法将二次型化为标准形的方法、步骤：44矩阵的合同（，则A与B合同（其中P为可逆阵））47判断两个同阶实对称矩阵是否合同的方法（看它们的正惯性指数和负惯性指数的个

7、数是否相等）47用配方法化二次型成标准形47二次型的规范形48二次型的标准型化为规范形的方法48二次型的惯性定理（对称矩阵A与B合同的充分必要条件是它们有相同的秩、正惯性指数、负惯性指数。）（秩=正惯性指数+负惯性指数；符号差=正惯性指数--负惯性指数）49正定二次型、正定矩阵定义（如果，且，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵A为正定矩阵，正定矩阵首先必须是实对称阵）49二次型正定的充分必要条件49判断二次型是否正定的方法（先看对称矩阵A主对角线上的元素是否都大于0，如果都大于0，则看各阶顺序主子式是否都大于零）（出题多）50正定阵的相关结论51二次型

8、的分类51对于一般二次型如何判断它正定，半正定，负定，半负定，还是不定，有以下结论:51常考的