b4 积分形式的基本方程

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1、B4积分形式的基本方程本章应掌握：追随流体质量体建立动力学方程:质量体是不变的质点系(闭系统)。适于研究流体流动的积分形式各基本方程。用积分形式的基本方程求解：当只要求了解流体流动动力学问题的总体性能关系（如流体作用在物体上的合力，总的能量传递等），而不要求了解流动过程的详细情况时，用这种方法简单方便。【第10讲】B4.1流体系统的随体导数B4.2积分形式的连续性方程控制体控制体：相对于某参照坐标系不随时间变化（定常流）的封闭曲面中所包含的流体（在涡轮机进出口所限定的体积内的气体）。控制体的边界为控制面。质量体的体积和界

2、面为D(t)，Σ(t)，不是时间的函数。性质：①控制体的几何形状和体积均不变。②控制体的界面可有流体流入或流出（相当热力学中的开系统）。③控制体的边界面有力的相互作用。④控制体的边界面可有能量交换（热交换或外力作功）。B4.1流体系统的随体导数局部导数∂/∂t：控制体内某物理量总和随时间的增长率。如控制体内总质量:其局部导数：随体导数(物质导数)D/Dt：质量体内某物理量总和对时间的增长率。如质量体内总质量:其随体导数：在流场中取一控制体CV,表面为控制面CS.设η(r,t)为系统内质量﹑动量﹑动量矩和能量等物理量在t时

3、刻的空间分布函数,在系统上的积分为:Nsys为系统广延量(系统质量﹑动量﹑动量矩和能量等)输运公式(雷诺输运定理)输运公式是把体系中与流体体积有有关的随流物理量的随流导数以控制体形式来表示。〖定理〗任一瞬时，质量体内物理量Q的随体导数等于该瞬间形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。随体导数=局部导数+控制面上的输运量〖说明〗某瞬时间控制体内的流体所构成的体系，它所具有的随流物理量的随流导数，等于同一瞬间控制体中所含同一随流物理量的增加率与该物理量通过控制面A的净流出率之和。若流体为定常,

4、局部导数为0:B4.1.1控制体的选择对固定的不变形的控制体：体积元不随时间变化,局部导数的微分和积分运算可互换:对匀速运动的控制体:坐标系固结在控制体上,迁移项的速度为相对速度:控制面的选取:①取在物理量已知的位置上或需求解的位置上.②取控制面与速度矢量互相垂直.③当流场有界时,取包含流体系统的简单形状控制体.(如图中CV2)CV2CV1B4.2积分形式的连续性(质量)方程系统质量为〖定义〗：质量体是封闭，总质量不变。利用运输公式,得积分形式的连续性(质量)方程：〖说明〗控制体内流体质量的增长率，等于通过控制面的流体净

5、流进率。B4.2.1固定的控制体对固定不变形的控制体:根据高斯公式:得：取积分值为0,有微分形式的连续性方程:1.不可压流体流不可压流体流动(ρ为常数)：容积流量不变。〖说明〗对不可压流体流动，当不存在内部源时,经过控制面流进控制体的流体容积流量,等于流出控制体的流体容积流量。对定常和非定常流都适用。一维不可压流动连续性方程若控制面上有多个出入口:A1A2v1v2n1n2CS2.可压流体流定常流动可压流体定常流（∂ρ/∂t=0）：质量流量不变。对密度可变的定常流动:表明:对固定的控制体内的可压流体流定常流动,通过控制面净

6、流出的流体质量流量为0.一维可压流动连续性方程:表示可压流体在管中作定常流动时,在任一截面上的质量流量守恒.若控制面上有多个出入口:n2n1A2A1A侧U1U2ρ1ρ2沿流管质量守恒方程流经流管截面的质量流量相等。〖表明〗定常不可压流中流入流管的体积流量等于流出流管的体积流量。一维定常流(可压时):通过各横截面的流量相等。ρ1V1A1=ρ2V2A2即ρVA=常数〖定理〗在一维定常流中,通过同一流管任意截面上的流体质量(或重量)流量保持不变.对不可压流(ρ=常数):A1V1=A2V2=Q=常数〖定理〗对不可压一维定常流中，

7、流速随截面积缩小而增大。B4.2.2运动的控制体当物体在流体中运动时,常将控制体固结在物体上一起运动,速度改用相对速度,可得到运动控制体形式的连续性方程:若控制面上有多个出入口:例B4.1poρoρpV〖例〗容器中的空气经管道向外界排气。已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，速度则按抛物线规律分布V=Vm(1-r2/ro2),容器和管道的总容积为0.32m2,排气管半径ro=0.025m,当容器po=1.4*105Pa,To=277.8K,测得管道出口气流最大速度Vm=32m/s,求此时排出的空气流量及容器中空气密度的

8、时间变化率。解：设Q为排出的空气流量，则：Q=∯ΣρV·dA=∫oroρVm(1-r2/ro2)2rdr=ro2ρVmρ=ρo=po/RTo故：Q==ro2Vmpo/RTo=0.0552(kg/s)利用连续方程得:∫v（∂ρ/∂t)dv=-Q因为空气密度是均匀分布的,则:(∂ρ/∂t)dv=-Q∂ρ/∂t=-Q