朱占奎--平面几何

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1、平面几何(1)江苏省靖江高级中学　朱占奎一常用定理及其变式1（梅涅劳斯定理及其逆定理））设、、分别是的三边、、或其延长线上的点，则等式成立的充要条件是、、三点共线。2（赛瓦定理及其逆定理）设、、分别是的三边BC、CA、AB或其延长线上的点，则等式成立的充要条件是、、三条直线共点或三条直线互相平行。3（托勒密定理及其逆定理）在凸四边形中则A、B、C、D四点共圆.的充要条件是.4（西姆松定理及其逆定理）定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线；逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。二、基本结

2、论及其应用1．（张角定理）设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点，线段AC、CB对于点P的张角分别为、，且，则A、C、B三点共线的充要条件是：2．（欧拉定理）在中R为分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则。3．（三角形的欧拉线）的重心G，垂心H和外心O共线，并且。44．（三弦定理）　P是外接圆上的一点，点P与点C在直线AB的异侧，则.例题.①已知中，的一个外角平分线交外接圆于E，过E作，垂足为F.　求证：.②已知：如图，折线ABC是圆O的一条折弦，，点M是的中点，，垂足为H.,证明AH=HB+BC③已知锐角的的

3、平分线交BC于L，交接圆于N，过L分别作，垂足分别是K、M.　求证：四边形AKNM的面积等于的面积.5.（结论）　P是内任意一点，AP、BP、CP交BC、AC、AB于D、E、F，求证：.例题①P是内任一点，则.②P是内任意一点，则、、中至少有一个不大于2，且至少有一个不小于2.③P是内任一点，P到BC、AC、AB的距离是、、，设三边上的高是、、，则.④P是正内任意一点，则（其中是正三角形一边上的高.）⑤P是等腰三角形底边BC上任一点，则.（其中是腰上的高）⑥设P是外接圆的圆心，则.（其中R是外接圆半径）.⑦P是的内心，则（其中是内切圆半径）⑧P是的直角C的平

4、分线与斜边AB的交点，则（其中、是直角三角形两直角边长）4平面几何(2)江苏省靖江高级中学　朱占奎6.　（结论）P是正外接圆上任一点，当P在BC上时，求证：时，求证：.①.（其中是正的边长）.②设交BC于D点，求证：.③设AP交BC于D，求证：.④过P分别作BC、AC、AB垂线，垂足分别是H、E、F，求证：.⑤（R为外接圆半径）.⑥求证H、E、F三点共线.⑦设M、N、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：⑧　已知是等三角形，P是外接圆BC上任一点，，求证是等边三角形.7(结论)△ABC的高AD，BE相交于H，AD延长线交外接圆于点G，求证：D为HG的中点。例

5、题.①在△ABC的外接圆中，过垂心H作三条弦、、。若，问六边形的周长是多少？②.给定△ABC，试求一点，使它关于三角形三边所在直线的对称点都在三角形的外接圆上⌒三、常用方法举例1如图，已知分别在正方形的边上，且.过点作的垂线，垂足为.求证：∠APN=∠BNC.42是以为直径的半圆上的一点（），在上，是上的一点，交于，且.求证：.3已知中，、分别为边、上的点，分别为的中点.求证：三线共点.4.如图，在锐角中，以为直径作圆与边上的高及其延长线交于.以为直径作圆与边上的高及其延长线交于.求证：四点共圆.5．已知⊙和⊙相交于两点，延长交⊙于，延长交⊙于.试证：点是的

6、内心.6.等腰三角形ABC中，∠A=90°，D,E是BC上的点，且∠DAE=45°，△ABC的外接圆分别交AB,AC于P,Q.求证：BP+CQ=PQ.4