专题10二次函数的图象及其应用(选讲)(朱占奎)

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1、专题12二次函数的图象及其应用(2)二次函数的图象与X轴的交点问题求二次函数y=or2+/zx+c(a矣0)的图象与x轴的公共点的坐标，就是求二次函数>，=or2+/7X+C屮y的值为0时所对应的x值.所以，只要令y=0：解一元二次方程ax1+/zx+c=0,其解就是公共点的横坐标.可见，二次函数问题可以转化为一元二次方程问题.如果二次函数y=av2+/?%+c(a=#0)的图象与x轴有两个公共点A(xi,0),B(X2,0)，则X1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以根据一元二次方程根与系数的关系就得bcbcxi+x2=—

2、—，x!x2=—，即一=—(x!+x2),—=xix2.所以，y=ax2+bx+c=aaaabqH—XH—）=a[x—（X1+X2）X+X1X2]=a（x一xi）因此，若二次函数y=ox2+/?x+c(a=A0)的图象与x轴交于Ah,0),B(x2,0)两点，则其函数关系式可以表示为y=6/(J：—々)(•¥—x2)(a=A0).这样，也就得到了二次函数除一般式和顶点式外的第三种表示方法交点式.观察右图，在二次函数y=or2+/?x+c(a〉0)中，若m

3、一个的交点在m与n之间.也就是说，方程or2+/?x+C=0必有一个根在m与n之间.应用二次函数的这一性质，也就可以将一元二次方程的问题转化为二次函数问题.例1判断下列二次函数的图象与x轴的公共点个数.(1)y=x2—4r+3(2)y=%2+6a：+9分析：将判断图象与x轴的公共点个数问题转化为判断方程根的个数.而一元二次方程根的个数可由对应的根的判别式-4ac的值来确定.解：(1)VA=/?2-4ac=4>Q•••二次函数y=x2—4x+3的图象与x轴的有2个交卢、(1)=-4ac=0二次函数>，=a:2+6x+9的图象与x轴的有

4、1个交点.说明：抛物线y=ax::+bx+c(a#0)与x轴公共点个数与方程or2+/zv+c=0根的判别式A=b2—4ac之间存在下列关系:b2-4ac的值一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c与x轴的公共点情况b2-4ac〉0有两个不相等的根有两个不同的交点b~4ac=0有两相等的根只有惟一的一个交点b2-4ac〈0无实数根无交点例2己知：抛物线>，=or2+/?x+c的对称轴是直线x=4,与x轴的两个交点之间的距离是6,与y轴的交点纵坐标是5,求此抛物线的解析式.分析：因为已知条件与图象和x轴的交

5、点有关，所以要设法找出交点坐标.解：由题意得：抛物线y=加+c与x轴的交点坐标为(1,0)和(7,0),y=ax2+bx+c=a{x-xx)(x-x2),则)，=“0—1)0—7).又因为抛物线与y轴的交点纵坐标是5,所以抛物线过点(0,5)，所以5二6Z(0—D(0-7),a=

6、,所以此抛物线的解析式为y=ju—l)(x-7)，也就是，y=

7、x2-yx+5.说明：画图，结合图象思考易于找到解决问题的方法.例3根裾下列表格中二次函数=+c的自变量x与函数值>’的对应值，判断方程ox2+/?x+f=0(cz0,a,ht•为常数)的一个

8、解x的范围是()X6.176.186.196.20y=ax^+bx-0.03-0.010.020.04A.60,所以在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使y=or2+/?x+c=0,因为二次函数y=+c图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程

9、ax2+/?x+c=0的解，所以方程or2+/?x+c=0必有一个解x的范围是6.18

10、析:本题是根据方程的根的分布确定待定字母的取值范围.设出二次方程对应的二次函数，画山相应的示意图，借助二次函数的图象和性质解题.解：由条件说明抛物线y=x2+2z/u+2m+l与x轴的交点分别在区间一1与0=^>s一丄2」~2_5~6