等几何复习题湖北师范学院高

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1、高几复习题1．求仿射变换，它使点依次变成点．解：设所求仿射变换式为将三对对应点坐标分别代入上式，解得仿射变换式为　　　　　　　　　　　　　（注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换）2．求仿射变换，它使直线上每一点都不动，且将点变成点．　　　解：设所求仿射变换式为在直线上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式，解得仿射变换式为3．已知四直线的方程顺次为：1）求证四直线共点；2）求．10解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线．2)可以用斜率计算得思考斜率不存在怎么解决？（见下题）4．已知四点．1）证明：四点共线；2）求交比．解：⑴因为所以四点共线．⑵设经计算：．所以，

2、从而5．已知四直线的方程顺次为：1）求证四直线共点；2）求．10解：　1）∵∴共点．2）设，经计算∵∴．6．求一维射影对应式，使直线上坐标为的三点依次对应于上坐标为的三点；并求上无穷远点的对应点的坐标．解：设所求一维射影对应式为：将三对对应点的齐次坐标，，依次代入对应式，得10，将上的无穷远点代入上式，得对应点齐次坐标为.7．求二维射影变换的不变点和不变直线．解：1）特征根：（二重）．2）不变点：,．3）不变直线：，即，即．（计算方法及过程见课件例题）8．求二维射影变换的不变元素．解：1）特征值：（二重）．2）不变点：，，不变点列：．3）不变直线：，即，10，，即以为束

3、心的一个不变线束．9．已知有心二次曲线Γ:，（1）求Γ的一个自极三点形，且；（2）求Γ的一对共轭直径方程，其中一直径平行于．解：（1）解：(1)A的极线a：，　　　　　在的极线上取点B,则B的极线b：,　取a、b的交点C,则ABC为自极三点形．　　(2)由,则上的无穷远点为,所以的共轭直径方程为;易得直径方程为:10．在仿射平面上，已知二次曲线Γ的方程为1）证明Γ为双曲线；2）求Γ的一对共轭直径，使其中一条直径平行于直线．10解：1）∵且，∴为双曲线。2）∵中心坐标为，已知直线上的无穷远点为，所以平行于已知直线的直径是中心与无穷远点的连线．所以直径方程为：其共轭直径：．

4、11．（例）已知二阶曲线Γ:1）求Γ的中心坐标；2）求仿射坐标变换，将Γ的方程化为标准形式．解：1）∵，，∴曲线为非退化有心二次曲线，中心坐标为．2）取中心为，极线为，在上取，的极线方程为，在上取，则为Γ的一个自极三点形，取它为新的仿射坐标三点形，取为新单位点，则仿射坐标变换的逆式为：10代入的方程，化简得．令，则得标准方程为：，是实椭圆．12．如图，在完全四点形中，（期中考题）为直线上任一点，，求证三点共线．证明考虑两个对应三点形与，∵它们对应顶点连线交于一点，∴两三点形透视．∵它们的对应边交点分别为，∴由德萨格定理知，三点共线．13．如下图，是非退化二阶曲线的内接完

5、全四点形，10是它的对边三点形，求证：处的切线交在上．证明：设处的切线交点为，则的极线为，∵为自极三点形，∴的极线为．∵通过，∴通过（配极原则）．即处的切线交在上．14．设共面的两个三点形与是透视的，求证：10六条直线属于同一条二级曲线．（136页习题4）证明：　∵两个三点形与是透视的∴它们对应顶点连线交于一点．　考虑简单六线形，∵其对顶点连线共点于．∴由布利安桑定理的逆定理，此简单六线形外切于一条二级曲线，即直线属于同一条二级曲线．　15．已知平面上二直线a,b,P为不在a,b上的一点．不定出a,b的交点,过P求作直线c,使c经过a,b的交点，并说明理由．。P考虑三点

6、形与,由Desargues定理即得结论．1010