复件 奥林匹克题解三(1)中

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1、第三章、几何部分第一节平面几何证明（中）C1-071设线段AB的中点为M，从AB上另一点C向直线AB的一侧引线段CD；令CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q．求证：直线PQ平分线段AC．【题说】1978年全国联赛一试题6．【证】如图，设PQ交AB于E，连PN，因为P为BD的中点，N为CD的中点，所以又Q为MN的中点，故△QME≌△QNP=CM+BC-EM=CM+EM=CE C1-072在△ABC中，边AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，并且与AB、AC分别相切于P、Q．求证：P、Q两点连线的中点是△ABC

2、的内切圆圆心．50【题说】第二十届（1978年）国际数学奥林匹克题4．本题由美国提供．【证】如图．设D是两圆的切点，E是PQ的中点，连接AD、BE、PD、BD．由于△ABC是等腰三角形，易知AD是△ABC外接圆的直径．又因AB、AC和△ABC的内切圆相切于点P、Q，所以AP=AQ．因以∠BPD=∠EPD．又因为PD是公共边，所以，Rt△BPD≌Rt△EPD，所以PB=PE，∠PBE=∠PEB．又因为AD⊥BC，AD⊥PQ，所以BC∥PQ，∠PEB=∠EBC，于是有∠PBE=∠EBC即BE平分∠ABC．因此E点是△ABC的内

3、心． C1-073已知△ABC三内角比为1∶2∶6，又a、b、c为角A、B、C所对之边．求证：a∶b=（a+b）∶（a+b+c）．【题说】1979年芜湖市赛题8．【证】因∠A+∠B+∠C=180°．故∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°延长AC到G，使CG=CB，延长BC到D，使CD=CA．设直线AB、DG相交于E．易知△EAD是等腰三角形，BG∥AD，△BCG与△ACD都是等边三角形，并且，∠BDE=∠BAC=20°，∠BED=∠ABC-∠BDE=20°=∠BDE．所以，BE=BD=BC+CD=a+b．由于BG∥ 

4、50C1-074已知位于同一平面内的正三角形ABC、CDE和EHK（顶【题说】第十五届（1981年）全苏数学奥林匹克九年级题2．要证△BHD为正三角形，只须证它的一边绕着一顶点向另一边旋转60°后重合于这一边．【证】将△CAD绕点C逆时针旋转60°，那末它将变为△CBE．所

5、DK

6、=

7、AD

8、=

9、BE

10、，再将△HBE绕H顺时针旋转60°，因为△EHK是正三角形，所以点E变为点K；线段EB变为线段KD；点B变为点D，于是

11、HB

12、=

13、HD

14、，∠BHD=60°，△BHD是正三角形． C1-0751．△ABC为任意三角形，它的重心G

15、有如下的性质：过它任作直线XY与边交于P、Q，以A、B、C为顶点，以PQ为底边的三个顶点三角形，分居X、Y的两侧，若以一侧的三角形面积为正，另一侧的为负，则所有顶点三角形面积之值的代数和为零（即一侧的顶点三角形面积（和），等于另一侧顶点三角形面积（和）），试证之．2．对于任意四边形ABCD，具有上述性质的点是否存在？若存在，请找出来；若不存在，请证明．【题说】1981年芜湖市赛题6．50【证】1．若XY过一顶点，结论显然．若XY不过顶点，则必有两个顶点，不妨设A、B在ZY的同一侧，如图a所示．令hA、hB、hC分别为A、B

16、、C到XY的距离，M为AB中点，hM为M到XY的距离，则有hA+hB=2hM易知                                                   hC=2hM所以                           hA+hB=hC，S△APQ+S△BPQ=S△CPQ即                               S△APQ+S△BPQ-S△CPQ=02．四边形ABCD对边中点连线MN和ST的交点O，具有类似性质．过O任作直线XY．不妨设XY交CD于X，交AB于Y，hA、

17、hB、hC、hD、hM、hN分别为A、B、C、D、M、N到XY的距离，则hB+hC=2hN                                               （1）hA+hD=2hM                                               （2）又易知四边形MTNS是平行四边形，O为MN中点，所以hM=hN                                                        （3）由（1）、（2）、（3）得50S△AXY

18、+S△DXY+S△CXY+S△BXY=0                           （4）另一方面，设O′为这样的点，过O′作直线分别交CD于X、交AB于Y，则（沿用上面的符号）（1）、（2）、（4）成立，所以（3）成立，即O′为MN中点，从而O′与O重合，即具有上述性质的点是唯一的． C1-