欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:14685508
大小:473.50 KB
页数:50页
时间:2018-07-29
《复件 奥林匹克题解三(1)中》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章、几何部分第一节平面几何证明(中)C1-071设线段AB的中点为M,从AB上另一点C向直线AB的一侧引线段CD;令CD的中点为N,BD的中点为P,MN的中点为Q.求证:直线PQ平分线段AC.【题说】1978年全国联赛一试题6.【证】如图,设PQ交AB于E,连PN,因为P为BD的中点,N为CD的中点,所以又Q为MN的中点,故△QME≌△QNP=CM+BC-EM=CM+EM=CE C1-072在△ABC中,边AB=AC,有一个圆内切于△ABC的外接圆,并且与AB、AC分别相切于P、Q.求证:P、Q两点连线的中点是△ABC
2、的内切圆圆心.50【题说】第二十届(1978年)国际数学奥林匹克题4.本题由美国提供.【证】如图.设D是两圆的切点,E是PQ的中点,连接AD、BE、PD、BD.由于△ABC是等腰三角形,易知AD是△ABC外接圆的直径.又因AB、AC和△ABC的内切圆相切于点P、Q,所以AP=AQ.因以∠BPD=∠EPD.又因为PD是公共边,所以,Rt△BPD≌Rt△EPD,所以PB=PE,∠PBE=∠PEB.又因为AD⊥BC,AD⊥PQ,所以BC∥PQ,∠PEB=∠EBC,于是有∠PBE=∠EBC即BE平分∠ABC.因此E点是△ABC的内
3、心. C1-073已知△ABC三内角比为1∶2∶6,又a、b、c为角A、B、C所对之边.求证:a∶b=(a+b)∶(a+b+c).【题说】1979年芜湖市赛题8.【证】因∠A+∠B+∠C=180°.故∠A=20°,∠B=40°,∠C=120°延长AC到G,使CG=CB,延长BC到D,使CD=CA.设直线AB、DG相交于E.易知△EAD是等腰三角形,BG∥AD,△BCG与△ACD都是等边三角形,并且,∠BDE=∠BAC=20°,∠BED=∠ABC-∠BDE=20°=∠BDE.所以,BE=BD=BC+CD=a+b.由于BG∥
4、50C1-074已知位于同一平面内的正三角形ABC、CDE和EHK(顶【题说】第十五届(1981年)全苏数学奥林匹克九年级题2.要证△BHD为正三角形,只须证它的一边绕着一顶点向另一边旋转60°后重合于这一边.【证】将△CAD绕点C逆时针旋转60°,那末它将变为△CBE.所
5、DK
6、=
7、AD
8、=
9、BE
10、,再将△HBE绕H顺时针旋转60°,因为△EHK是正三角形,所以点E变为点K;线段EB变为线段KD;点B变为点D,于是
11、HB
12、=
13、HD
14、,∠BHD=60°,△BHD是正三角形. C1-0751.△ABC为任意三角形,它的重心G
15、有如下的性质:过它任作直线XY与边交于P、Q,以A、B、C为顶点,以PQ为底边的三个顶点三角形,分居X、Y的两侧,若以一侧的三角形面积为正,另一侧的为负,则所有顶点三角形面积之值的代数和为零(即一侧的顶点三角形面积(和),等于另一侧顶点三角形面积(和)),试证之.2.对于任意四边形ABCD,具有上述性质的点是否存在?若存在,请找出来;若不存在,请证明.【题说】1981年芜湖市赛题6.50【证】1.若XY过一顶点,结论显然.若XY不过顶点,则必有两个顶点,不妨设A、B在ZY的同一侧,如图a所示.令hA、hB、hC分别为A、B
16、、C到XY的距离,M为AB中点,hM为M到XY的距离,则有hA+hB=2hM易知 hC=2hM所以 hA+hB=hC,S△APQ+S△BPQ=S△CPQ即 S△APQ+S△BPQ-S△CPQ=02.四边形ABCD对边中点连线MN和ST的交点O,具有类似性质.过O任作直线XY.不妨设XY交CD于X,交AB于Y,hA、
17、hB、hC、hD、hM、hN分别为A、B、C、D、M、N到XY的距离,则hB+hC=2hN (1)hA+hD=2hM (2)又易知四边形MTNS是平行四边形,O为MN中点,所以hM=hN (3)由(1)、(2)、(3)得50S△AXY
18、+S△DXY+S△CXY+S△BXY=0 (4)另一方面,设O′为这样的点,过O′作直线分别交CD于X、交AB于Y,则(沿用上面的符号)(1)、(2)、(4)成立,所以(3)成立,即O′为MN中点,从而O′与O重合,即具有上述性质的点是唯一的. C1-
此文档下载收益归作者所有