与zeta函数无理性相关的一个积分

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1、与zeta函数无理性相关的一个积分参赛队员：胡天智指导老师：刘诗顺学校：广州市执信中学24摘要无理数的研究是一个比较古老又充满现代气息的课题，数的研究每前进一步都会极大地推动数学乃至更多自然科学的发展。（）是Riemann提出的用于研究素数的函数，目前已成为解析数论核心内容之一；人们尝试计算s为整数的函数值，并研究它的无理性。目前可用于研究比较特殊的常数的无理性的方法有经典分析法，Pade逼近法，Nesterenko数的线性无关理论等多种方法，但统一的方法较少或适用范围很小。本文将采用经典分析的方法，从的无理性证明开始，探究有关、的无理性的问题，逐步建立的

2、积分相关式，并用该式子较精细地研究的无理性，这是对方法的改进。在最后一章将提出一个与积分的估计有关的猜想。本文的结论是的无理性与积分和前n个正整数（1，,2,L，n）的最小公倍数的s次方之积相关，这个结论可以用来证明s较小时的无理性。这一结论的意义在于我们可以通过这一积分的估计简捷获得s较小时的无理性，当然它的严谨性需要仔细的探讨。关键词：无理性；Riemann；分析方法；多重积分估计24一、问题的介绍无理数对我们来说应当是不陌生的，不能表示成两个整数之比的数即是无理数，关于无理数的研究是意义深远的，很多分支，如超越数论，各类逼近理论，分析学，代数学，实数

3、集合的深入研究，都与无理数有一定关联，而且关于无理数有很多著名问题和猜想，本文将讨论其中一个，由于无理数是不可数的，我们有理由认为，关于无理数的研究既不会过时，也很难穷尽。是两个最为人们熟知的无理数，而这个定理的证明却比较复杂，然而更为复杂的是（）的无理性，让我们了解一下的研究过程：Euler最先得出，这也标志着的无理性获得证明；1978年，法国数学家Apery宣布证明了的无理性，简化了他的证明，同样这是关于的最好记录（关于，有相应求和公式说明它是一个无理数），也就是说，，s=5,7,9...的无理性尚未确定，2000年，Rivoal和Zudilin在应用

4、Nesterenko数的线性无关理论的基础上得出了、、、中至少有一个是无理数，这被认为是目前关于无理性的最好结果。对于、的证明方法有很多，Apery最先构造了无限个有理数，使得，是任意常数；之后应用二重积分给出了一个很简单的证明；还有Sorokin应用Pade逼近给出了证明；甚至Zudilin还给出了一个初等证明。本文的结构安排如下：第二章会简述相关理论，并证明所需要的各个引理；本文的第三章将先简要说明对的证明，再尝试用积分估计式探讨的无理性，这是为了为后来讨论提供充足经验,之后建立与相关的积分式，提出本文中的核心定理，并讨论该方法的合理性和须改进之处；第

5、四章提出一个猜想。本文的结论是得出了的无理性与积分相关，应用这一结论可以简单证明s较小时是个无理数。24二、相关理论本章介绍基础理论和需要用到的引理。在这里首先声明这一章中的定理大多已为众人所知，是经典的事实，而部分引理来自朱尧辰先生的无理数引论，冯贝叶先生的多项式与无理数，还有一部分是对数学家们曾用来证明是无理数的引理的简单推广。在本章中我们给出会用到相关理论，对于经典定理不予证明，而引理则简述其证明。（定理的证明请参见数学分析，无理数引论，，多项式和无理数，素数定理的初等证明等）首先我们给出：无理数的定义不能表示成，p、q是整数，形式的数是无理数。接下

6、来给出无理数的几个数论性质：无理数的十进制表示是非周期的，即它的小数部分无限不循环；无理数的连分数展开式是无限的，并且唯一；任意给定，若数满足，那么数是无理数（，是整数）。（一）关于微积分的理论首先给出一个有用的公式2.1.1，并将它推广为公式2.1.2：对两端取不定积分，得到，移项后，得到公式（2.1.1）对于积分，反复使用公式2.1.1，我们将得到公式2.1.2:,这个公式很重要，在后面重要定理的证明中会经常使用。将公式2.1.2用于定积分中，于是得到公式2.1.3除此之外，还有幂级数展开：接下来要讨论一种特殊的多项式：Legendre多项式，先介绍它

7、的定义：设是n次多项式，对任意次数低于n的多项式Q（x）都有，则称24是区间上的n次Legendre多项式。定理2.1.1Legendre多项式存在，设是区间上的n次Legendre多项式，那么(是一个不依赖于x的常数)。这个定理不仅说明了Legendre多项式的存在性，还给出了它的形式。定理2.1.2当我们取=，在区间上设，那么（关于Legendre多项式的相关知识和定理的证明请参见文献）（二）关于数论的知识初等数论中最基本的定理是算数基本定理：定理2.3.1（算数基本定理）任取一个正整数n，总可以得到表达式（是正整数，是若干个互不相等的素数）且这个表达

8、式在不计次序下唯一。这里给出著名的素数定理：定理2.3.2（素数定