正弦定理和余弦定理二一轮复习课时训练

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1、1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上的一点，DC＝2BD，则AD=_______．2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．3．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是________m.4．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长______米．5.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的

2、距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．6.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．1.解析：由余弦定理得BC2＝22＋12－2×2×1×cos120°＝7，∴BC＝.∴cosB＝＝，BD=,AD2=()2＋22－2××2×cosB=,A

3、D=2.解析：由已知可得∠ACB＝120°，又AC＝BC＝a，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝a2＋a2－2a·acos120°＝3a2，∴AB＝akm.3.解析：如上图所示，由已知，四边形CBMD为正方形，而CB=20m，所以BM=20m．又在Rt△AMD中，DM=20m，∠ADM=30°，∴AM=DMtan30°=(m)，∴AB=AM+MB=(m)．4.解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50米，当坡的倾斜角变为30°时，坡底的长度为50米，所以坡度改后，坡底伸长了50(－)米．答案：50(－)5.[解析]　在△ABD中，设BD＝

4、x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)，由正弦定理得，＝，∴BC＝·sin30°＝8答：两景点B与C的距离约为8km.6.析　如图可知，∠ABC＝60°，AB＝BC，∴AC＝5，∠BAC＝60°，从而∠DAC＝45°，又AD＝3，∴由余弦定理得，CD＝＝.7．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的

5、长为40米，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度是多少米？8.如上图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？9.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B，且AB=80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得

6、∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）BACD7.解：根据题意可得，∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，所以AC＝AB＝40米．在△ADC中，∠BDC＝120°，由正弦定理得＝，∴CD＝＝(米)，即转播塔的高度为米．8.解：如图，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°-120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=A1A2=.由已知，A1B1=20，∠B1A1

7、B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为×60=30海里/小时．即乙船每小时航行30海里．9.△ABC,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°在中，在中，DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600航模的速度（米/秒）答：航模的速度为2（米/秒）