基于matlab的科学计算—解线性方程组的迭代法

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1、科学计算—理论、方法及其基于MATLAB的程序实现与分析三、解线性方程组的迭代法（Iteration）线性方程组的理论求解公式　　　　　　　　　（１）在应用于实际问题的计算时，通常面临两方面的问题１、计算过程复杂，２、不能保证算法的稳定性；此外，当初始数据（可能）存在误差时，按公式（１）即使求出了“精确解”意义也不大，因此，对于存在初始数据误差、特别是大型的线性方程组求解，需要寻求能达到精度要求的、操作和计算过程相对简单的求解方法。下面将要介绍的迭代法就属于这类方法。迭代法求解线性方程组的基本思想是１）不追求“一下子”得到方程组的解，而是在逐步逼近方程组的精确解的迭代过程中获得满足精度要求的

2、近似解，这一点与直接法不同；２）通过对问题的转化，避免（困难的）矩阵求逆运算。用迭代法求解线性方程组，首先要把线性方程组写成等价的形式　　　　　　　（２）式（２）的右端称为迭代格式，由迭代格式（２）确定如下的迭代算法：　　　　　　（３）对于给定的线性方程组，可以写成不同的（无穷多）迭代格式，有意义的（可用的）迭代格式应具有收敛性―生成的解向量序列收敛于方程组的解；而好的迭代法应具有较高的收敛速度。关于迭代法收敛性的两个判别条件：a、充分必要条件是：矩阵的谱半径b、充分条件是：矩阵的某个算子范数。　　设是方程组（２）的解，是迭代法（３）生成的任一序列，因为，所以　　　（４）设，其中矩阵是矩阵的

3、Jordan标准型，那么容易验证，并且　　　　　（５）此外，因为　　　　　　　　（６）所以　　　（７）注：迭代格式（２）所确定的迭代法收敛与否，完全由系数矩阵决定，而与常数项无关．常用的迭代法１、Jacobian迭代法:　　　（８）例1解下面方程组（精确解为）.解1）改写成等价形式2）构造迭代公式，即为雅可比迭代公式3）取初始向量，即代入上式，求出.再代回公式中，求出，，.依次迭代，计算结果如表4-1.表4-1雅可比方法的数值结果012301.41.110.92900.51.201.05501.41.110.92945670.99061.011591.0002510.998240.96450

4、.99531.0057951.0001260.99061.011591.0002510.99824Example　intera_j.mitera_j2、Gauss-Seidel迭代法:　　（9）根据GS迭代法（9），可进一步得到（10）即（11）式（11）表明：Gauss-Seidel迭代法在计算第个迭代值时，及时地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：，，由于第步的迭代值通常比第步的迭代值更接近方程组的精确解，所以，在Jacobian迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收敛的情况下，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobian迭代法的收敛速度快。例2解下面方程组（与例1相同

5、，精确解为）.解1）原方程组改为等价方程组.2）构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式.3）取初始向量，即代入上式，求出，，.迭代计算下去，得表4-2.表4-２Ｇ-Ｓ方法的数值结果01201.41.063400.781.0204801.0260.987516３４0.9951041.001230.9952751.000821.00190.99963Exampleitera_gs.mitera_gs对Gauss-Seidel迭代法做进一步的研究，式（９）还可以写成如下的形式：（12）即Gauss-Seidel迭代法是在Jacobian迭代法的基础上增加了一个修正项：并且这个修正项起到了加速的作用

6、，受这一事实的启发，为获得更快的收敛速度，我们对Gauss-Seidel迭代法再做进一步的研究（13）式（13）表明Gauss-Seidel迭代法的第步迭代值是在第步迭代值的基础上增加了一个修正项：（14）并且这个修正项使第步迭代值更接近方程组的精确解，受这一事实的启发，我们希望通过用一个适当的因子乘修正项（14）的办法达到获得更快收敛速度的目的：（15）从而得到3、SOR（SuccessiveOverRelaxationMethod）迭代法:（16）其中称为松弛因子，由于（17）　　　（1８）　　　　　（1９）所以，为保证SOR迭代法的收敛性，要求。例3用超松驰迭代法解下面方程组，取松驰因

7、子..解方程组的精确解为：.取初值，用高斯-赛德尔迭代10次，得.利用SOR方法，构造迭代公式与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于表4-3.表4-3SOR迭代的数值结果12345111.3431.195451.20347211.491.47531.402361.40287351.71.6161.650951.60198151.59390590.790.81520.8295850.7895530.7