博弈论混合策略中纳什均衡存在定理的另一种证明

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1、博弈论混合策略中纳什均衡存在定理的另一种证明2012年第27><5卷第<5期数理医药学杂志·方法评介·文章编号:1004-4337(2012)0<5-0<509-02申图分类号:R311文献标识码:A博弈论混合策略中纳什均衡存在定理的另一种证明张金旺闰岩刘红华琳张建李林(首都医科大学北京100069)摘要:在博弈论发展中，用混合策略来分析博弈是重要的手段，弓

2、入混合策略可以保证纳什均衡的存在，可在临床决策与卫生管理对策中发挥作用。混合策略的引人是对非合作博弈进行预测的实质所在。在Fudenberg和Tirole相应工作的基础上，主要对连续博弈混合策略的性质，连续博弈的混合策

3、略纳什均衡存在定理的给出了另一种证明。关键词:连续博弈;混合策略;均衡$证明doi:10.3969/j.i困n.1004-4337.2012.0<5.002衡是0，ρ(U，二)=20;可任意的小。但是，如果U，U非常接进，则在某种意义上G={S;1连续博弈与有限博弈的联系U;}i凹的均衡;几乎;是巳={Si'豆i};EN的均衡。1.1e均衡概念及其性质弗德伯格和菜文(FudenbergandLevi时，1986)对上述两类似于有限博弈混合策略的情况，在连续博弈G={Si'个策略型博弈G={Si,Ui};EN和δ={Si’;;i};EN关于E均衡提均}iE

4、N中可能局中人iεN会选择s'iES;即以概率1采用纯出了一种跨接博弈的连续性，即2策略SFa而不选择棍合策略Fiε，ód当其他局中人都采用混合命题1设两(期望)支付函数组合U与Z的距离为ρ，如策略即F-iε，ó-i时，局中人i(εN)的期望支付为:果σ是G={Si,UiLEN的一个E均衡，则σ是G={Si，UiL凹的Vi(S’i,F-i)=f’1ES…L-日i-lJS+ES+JsnESnUi(<51’一个(0;+2p)均衡。lili1i1…，s「1，sFZ，<52十1，…，Sn)dF1…dFildFi+l…dFn一证明:对任N，VSiεS;t均衡是一个混合策略组

5、合，使得没有局中人能通过不采Vi(Si,(1-i)-Vi(σ)=(Vi(Si,(1-i)-Vi(Si,(1-i))+(Vi(Si,用为他确定的混合策略，却去选择他的任-策略而会得到大。一i)-Vi(a))十(Vi(σ)-Vi((1))运p+o;十p=o;十2po于ε二三0的增量;即混合策略组合σ(包括使用过的符号F，ρ)如果G={Si,Ui};EN是连续博弈，这时E均衡还有如下一是策略型博弈G={Si,Ui};EN的一个t均衡(eequilibriur时，当种相关的连续d性(~yerson，2001)，即:且仅当命题2若{P}k二1C,,limP=F正::，ó，{d}r~1

6、是满足对Vi(Si,(1-i)-Vi(σ)ζε，VSiESi’iEN每个{I}注0使得F是G={Si'~};EN的o;k-均衡的一个系列，其中σ-，的意义与使用过的符号F-i，P-i相同。JiEd=E，则F是G的一个t均衡。特别地，当0;=0时，F是G当0;=0，σ=ρ或σ=F且把Si换成FlE，óiCi巨::N)时，e的-个混合策略纳什均衡。均衡就是通常意义上的纳什均衡。证明:对zεN，VSiεS;博弈由(混合)策略集和(期望)支付函数所决定。Vi(Si'σi)-Vi(σ)=lim(Vi(Si,J-)-Vi(J))<limo;k=0;0ih→∞k

7、>∞设G={&，~}??N'~={&'~}??N是两个相近的博弈。1.2连续博弈与有限博弈它们的两个支付函数组合U=(屿，…哟，…u.),;;=(;;1’设Si是无限集，Di是有限集，我们定义:…豆;…二n)的距离ρ定义为:从Si3型UDi(iEN)的函数gi是CBore)可测的(measura??p(U';;)=~B:XStlpIU;CS)-;;i(S)IiENsESble)，当且仅当对VdiεDi，{SiεSi:g，(si)=di}是Borel可测博弈G的混合扩充为G={,i’Vi}iEN，博弈δ的混合扩充集。为{.

8、??.i，ViiEN'ρ=(队，…，Pi'…Pn)仨，ó，P=(Pl'…五，…Pn)命题3设G={Si,UiLEN是连续博弈，对Vp>O，则存在E，ó分别是G，δ的混合策略，其距离定义为:一个本质上有限的博弈巳={Si’;;iLEN'使得ρ(U，二)<poρ(ρ，P)=~aNx，s~~IPi(Si)-Pi(Si)I(1)证明2由Ui(S)=Ui(Si，S-i)在S上的连续性，可知对VS-i其中Pi(Si)，Pi(Si)可分别换成Fi(Si)，Fi(Si)，iεN。