有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用

《有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、地球物理数值计算方法地球物理数值计算方法NumericalMethodsinGeophysics王彦宾地球物理学系2008-2009学年第二学期1地球物理数值计算方法第六章有限单元方法2有限单元法地球内部介质，尤其是浅部，存在横向非均匀结构，包括分层、不规则形状的块体。由于解析方法不能给出这类复杂模型中的解，因此需要近似的数值求解方法。有限单元方法(FiniteElementMethod，FEM)是地球物理数值方法中另一种常用到的方法。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性组合来逼近单元

2、中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在地球物理领域，有限单元法应用于地震波场模拟、地球动力学模拟等。由于网格划分的灵活性，特别适用于非常复杂的模型，如自由地表、复杂边界模型。3有限单元法简介有限单元方法是将偏微分方程描述的连续问题进行离散求解的一种数值方法。其基本原理

3、是：用简单的块体构造复杂的对象，或将一个复杂的对象分为用以处理的小块体。例子：近似圆的面积一个三角形的面积：圆的面积：N为三角形的个数，当N→∞时，4有限单元法简介有限单元方法包括以下基本步骤：1、根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。2、将研究对象剖分为简单的块体，即单元。3、描述每一个单元中的物理量，确定单元基函数，将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近。4、将所有单元通过节点组合到一起，按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。5、处理边界条件。6、采用适当的数值计

4、算方法求解根据边界条件修正的总体有限元方程组，可求得各节点的函数值。7、计算感兴趣的单元内的函数值。5有限单元法简介为什么要用有限单元方法（有限单元方法的优势）：1、有限单元方法可以对任意形状的问题进行灵活剖分，特别适用于非常复杂的模型，最早应用于结构力学。2、有限单元方法是工程中应用最广泛的计算及数值模拟方法。3、所需要的复杂节点生成可以利用图形界面软件（如CAD）实现。4、有很多商用有限单元软件系统可以使用（如：ANSYS、ADINA、SMART）。6有限单元法简介有限单元方法的应用：1、力学、航空、土木工程、汽车工程2、结构分析（静力学、动力学、线形

5、、非线性）3、热传导和流体力学4、电磁学5、地质力学6、生物学…7有限单元法简介有限单元方法在地球物理中的应用：1、地壳变形2、地球物理流体力学地球动力学地幔对流3、地电磁学4、波动传播5、强震地面运动、地震工程…8有限单元法简介有限单元方法在地球物理中的应用：1、地壳变形2、地球物理流体力学地球动力学地幔对流3、地电磁学4、波动传播5、强震地面运动、地震工程…9线性代数基础线性方程组：其中x1、x2、…、xn是待求变量，以上方程组写为矩阵形式：其中：10线性代数基础列向量：行向量：矩阵加减运算：其中：矩阵相乘运算：其中：其中：A：lxm矩阵，B：mxn矩

6、阵，i=1,2,…,l，j=1,2,…,n一般地：但是11线性代数基础特殊矩阵：矩阵的转置：对称矩阵：单位矩阵：并且有12线性代数基础特殊的行列式：方阵A的行列式是一个数，表示为，或13线性代数基础矩阵求逆：方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，即如果行列式为零，称A为奇异矩阵。矩阵求逆：对一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得则B是A的一个逆矩阵。当A可逆时，A的逆矩阵为：其中，A*为A的伴随矩阵，由A的代数余子式组成，14线性代数基础矩阵求逆：对逆矩阵有:线性方程组求解：对线性方程组，如果A可逆，则线性方程组求解的主要任务是求系数矩阵A的逆矩阵。常

7、用求解技术，如：高斯消元法(Gaussianelimination)（对给定的线性方程组施行初等变换，将其变成一个同解的阶梯形方程组，从而达到求解的目的。）迭代方法…15线性代数基础正定矩阵：对于方阵A，如果对所有的非零的向量x，则A为正定矩阵。正定矩阵是非奇异矩阵。矩阵的微分、积分：设该矩阵对变量t的微分为：相应的积分为：16有限单元法基础有限单元方法最早是为了解决弹性静力学问题而提出来的，因此一般按照方法的发展历史介绍其基本概念，如单元(elements)、刚度矩阵(stiffnessmatrix)等等。需要的预备知识：胡克定律（Hooke’sLaw）

8、静力平衡原理功的概念应变能17有限单元法基础一维问题：设有线性方程