激光原理周炳坤-第2章习题答案

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1、第二章开放式光腔与高斯光束习题（缺2.182.192.20）1．题略证明：设入射光，出射光，由折射定理,根据近轴传输条件，则，联立，则所以变换矩阵为2．题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为：光线出射平面介质时：故3.试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，有往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦

2、腔为稳定腔。3.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为0

3、的由0<<1，得则3.图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。解：图2.3稳定条件左边有所以有对子午线：对弧矢线：有：所以同时还要满足子午线与弧失线解法二：透镜序列图为：该三镜环形腔的往返矩阵为：由稳定腔的条件：，得：。若为子午光线，由则或若为弧矢光线，由，则或3.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003

4、估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式:根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求根据图2.5.5可

5、以查出对应于的腔菲涅耳数由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长(孔径直径):因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。解二：菲涅耳数增益为模衍射损耗为模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为因此不能作单模运转为实现单横模运转所加小孔光阑边长为：3.试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成令，则I式可以写成式中为厄米多项式，其值为由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是

6、令，得考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。9．求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。解：模的节线位置由缔合拉盖尔多项式：由得，又则模的节线位置为或sin2＝0，即：10今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为,，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为:根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。11.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L＝

7、50cm，R＝2m，2a＝1cm，。试计算、、、、、各为多少。解：，，，,,12．试证明，在所有相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度。证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。13．今有一平面镜和一R=1