第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛b题

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1、【2012第九届全国研究生数学建模竞赛B题】基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析有些国家会发射特殊目的的空间飞行器，如弹道式导弹、侦察卫星等。对他国发射具有敌意的空间飞行器实施监控并作出快速反应，对于维护国家安全具有重要的战略意义。发现发射和探测其轨道参数是实现监控和作出反应的第一步，没有观测，后续的判断与反应都无从谈起。卫星居高临下，是当今探测空间飞行器发射与轨道参数的重要平台。观测卫星按轨道特点，可分为高轨地球同步轨道卫星和中低轨近圆轨道卫星。其中同步轨道距地球表面约3.6万千米，轨道平面与地球赤道平面重合，理论上用3颗间

2、隔120度分布的同步轨道卫星可覆盖地球绝大部分表面。中低轨近圆轨道距地球表面数百到几千千米不等，根据观测要求，其轨道平面与赤道平面交成一定角度，且常由若干颗卫星实现组网探测。装置于卫星上的探测器包括有源和无源两类：有源探测器采用主动方式（如雷达，激光）搜寻目标，同时具备定向和测距两种能力；无源探测器则被动接收目标辐射。采用无源探测器的观测卫星常采用红外光学探测器，只接收目标的红外辐射信息，可定向但不能测距。对于火箭尾部喷焰的高度敏感性是红外技术的长处，但易受气候影响与云层干扰则是其缺点。探测的目的是为了推断空间飞行器的轨道参数，推断是基于观测

3、数据并通过数学模型与计算方法作出的。当观测卫星飞行一段时间，探测器测得目标相对于运动卫星的观测数据，以观测卫星和空间飞行器的运动模型和观测模型为基础，对空间飞行器的轨道参数（包括轨道位置、速度初值和其他模型参数）进行数学推断，为飞行器类别、飞行意图的判断提供信息基础。空间飞行器轨道一般可分为三段，依次为：靠火箭推进的主动段、在地球外层空间的惯性飞行段和再入大气层后的攻击段。主动段通常由多级火箭相继推进，前一级火箭完成推进后脱落，由后一级火箭接力。惯性飞行段在空气阻力极小的大气层外，靠末级火箭关机前获得的速度在椭圆轨道上作无动力惯性飞行。攻击段

4、则根据任务需求，受控制后再入大气层，飞向目标。对于卫星而言，在其寿命结束前一直绕地飞行，故无攻击段。图1是空间飞行器的主动段示意图（未按实际比例）。主动段又可细分为若干子段：垂直上升段，程序拐弯段和重力斜飞段。按最优轨道设计，为节约燃料，箭体应尽快穿过稠密大气层，故火箭一般先垂直发射。设A点为地面发射点，AB为垂直上升段，BC弧段为程序拐弯段，CD弧段为重力斜飞段，DE弧段为椭圆轨道。程序拐弯段连接垂直上升段与重力斜飞段，在外力矩控制下使箭体转过一定角度，该段完成后外加力矩撤销，进入斜飞状态。第一级火箭通常负担“垂直段+程序拐弯段（加外力矩）

5、+重力斜飞段的前段”的推进（视发动机的特性），重力斜飞段的后程则靠第二、第三级火箭相继完成。由于5斜飞状态下地球引力与推力不在同一直线，所以箭体质心的运动轨迹为带一定弧度的光滑曲线。图1空间飞行器主动段轨道的示意图为描述观测卫星和空间飞行器的运动，需要建立适当的坐标系。本题基础坐标系为随地心平移的坐标系，取地球中心为原点，地球自转轴取为轴，指向北极为正向，轴由指向零时刻的0经度线，再按右手系确定轴，建立直角坐标系。地心在绕日椭圆轨道上运动，所以理论上系是非惯性系。但地球公转周期远大于空间飞行器的观测弧段时长，故本题在短时间内认定该系为惯性坐标

6、系，该基础坐标系不随地球旋转。图2观测坐标系示意图第二个坐标系是随卫星运动的观测坐标系，见图2，原点取为卫星中心，轴沿连线，离开地球方向为正，轴与垂直指向正北，轴按右手系确定。由于一般测量卫星的轨道都不会严格经过南北极上空，所以这种坐标系的定义是明确的。如此定义的观测坐标系也叫做UEN坐标系，因为三个坐标轴分别指向上（UP）、东（EAST）和北（NORTH）三个方向。根据变质量质点的动力学，空间飞行器在基础坐标系下的主动段的简化运动方程如下：5（1）其中向量表示飞行器所受的外力加速度之和，表示火箭产生的推力加速度，为瞬时质量；是质量变化率；为

7、空间飞行器在基础坐标系下的位置矢量；表示对时间的二阶导数，即加速度；为地球引力常数（本题中地球引力常数取），为了更明确地表示推力加速度的方向，取的是燃料相对于火箭尾部喷口的喷射速度的逆矢量。方程（1）中如果只保留右侧第一项，则可以表示观测卫星的简化运动方程：（2）在给定基础坐标系下的位置和速度初值情况下，可以利用常微分方程组数值解方法计算空间飞行器的运动轨迹。不同空间飞行器的本质差异就在于和的模型不同，一般而言应为严格单调递减的非负函数。的方向一般应与飞行器的速度方向接近或相同，其大小一般较为稳定。观测卫星对于空间飞行器的观测数据通过化简可以

8、由观测坐标系下的两个无量纲比值确定：（3）其中为空间飞行器在观测坐标系中的坐标。观测数据不可避免地带有各种误差，观测误差包括随机误差和系统误差。本题假设随机误差为直